Кредиты. Аннуитетные и смешанные платежи

Задача 6 Дмитрий взял кредит в банке на сумму $270\, 200$ рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на $10%$ оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно втрое больше предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях. Решение. Пусть в кредит взята сумма $A = 270$ тыс. рублей, $k=1+\cfrac{10}{100}=1,1$, а первый платеж равен $x$. Поскольку банк начисляет проценты на остаток долга, а каждый последующий платеж в три раза больше предыдущего, получим уравнение $$((Ak-x)k-3x)k-9x=0,$$ откуда $$ x = \cfrac{Ak^3}{9+3k+k^2} =\cfrac{270\,000 \cdot (1,1)^3 }{9+3,3+(1,1)^2} = 26\,620.$$ Ответ: $26\, 620$ руб. Задача 7 В июле 2016 года планируется взять кредит в размере $6,6$ млн. руб. Условия возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года. — с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга. — в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным $6,6$ млн. руб. — суммы выплат 2020 и 2021 годов равны. Найдите $r$, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят $12,6$ млн. рублей. Решение. Пусть в кредит взята сумма $A = 6,6$ млн рублей, пусть $k=1+\cfrac{r}{100}$. Поскольку первые три года основной долг не уменьшается, это означает, что выплачиваются только проценты по кредиту, поэтому выплаты за первые три года (в млн рублей) $$ x_1 = x_2 = x_3 = A \cdot \cfrac{r}{100}=A(k-1). $$ Так как выплаты двух последующих лет равны и долг полностью погашен двумя равными платежами, то для двух последних платежей $y$ получим уравнение $$(A-kx)-x=0,$$ откуда $$x=\cfrac{Ak^2}{1+k}.$$ Общая сумма выплат равна (в млн рублей) $$ S=2x+3A(k-1)=\cfrac{2Ak^2}{1+k}+3A(k-1)=A\cfrac{5k^2-3}{k+1}=12,6,$$ откуда получим уравнение $$ 55k^2-21k-54=0.$$ Решая полученное уравнение, найдем $k=1,2$ (отрицательный корень не подходит), откуда $r=20%$. Ответ: $20%$. Задача 8 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Георгий взял кредит в банке на сумму $804\,000$ рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на $10%$ оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях. Решение. Пусть в кредит взята сумма $A = 804$ тыс. рублей, $k=1+\cfrac{10}{100}=1,1$, а последний (третий) платеж равен $y$. Поскольку каждый последующий платеж в два раза меньше предыдущего, то второй платеж равен $2y$, а первый — $4y$. Так как банк начисляет проценты на остаток долга, получим уравнение $$((Ak-4y)k-2y)k-y=0,$$ откуда $$ y = \cfrac{Ak^3}{1+2k+4k^2} =\cfrac{804\,000 \cdot (1,1)^3 }{1+2,2+4\cdot (1,1)^2} = 133\,100.$$ Ответ: $133\,100$ руб.