Кредиты. Аннуитетные и смешанные платежи

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 9 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) В июле 2016 года планируется взять кредит в размере $4,2$ млн. руб. Условия возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года. — с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга. — в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным $4,2$ млн. руб. — суммы выплат 2020 и 2021 годов равны. Найдите $r$, если долг выплачен полностью и общие выплаты составили $6,1$ млн. рублей. Решение. Пусть в кредит взята сумма $A = 4,2$ млн рублей, пусть $k=1+\cfrac{r}{100}$. Поскольку первые три года основной долг не уменьшается, это означает, что выплачиваются только проценты по кредиту, поэтому выплаты за первые три года (в млн рублей) $$ x_1 = x_2 = x_3 = A \cdot \cfrac{r}{100}=A(k-1). $$ Так как выплаты двух последующих лет равны и долг полностью погашен двумя равными платежами, то для двух последних платежей $y$ получим уравнение $$(A-kx)-x=0,$$ откуда $$x=\cfrac{Ak^2}{1+k}.$$ Общая сумма выплат равна (в млн рублей) $$ S=2x+3A(k-1)=\cfrac{2Ak^2}{1+k}+3A(k-1)=A\cfrac{5k^2-3}{k+1}=6,1,$$ откуда получим уравнение $$ 210k^2-61k-187=0.$$ Решая полученное уравнение, найдем $k=1,1$ (отрицательный корень не подходит), откуда $r=10%$. Ответ: $10%$.