Кредиты. Смешанные платежи

Семинар 8 Задача 1 Банк выдал Алексею кредит под $10%$ годовых на два года с выплатой в конце срока кредита, но оговорил, что процентная ставка через год может измениться. Через год банк увеличил процент. Каково должно быть максимальное значение нового процента, чтобы суммарная выплата не превысила исходную сумму кредита более чем на четверть? В результате запишите максимальное целое число процентов, гарантирующее выполнение условия. Решение. Пусть в кредит взята сумма $A$, пусть $k_1=1+\cfrac{10}{100}=1,1$. Пусть $r%$ — процентная ставка во второй год, $k_2=1+\cfrac{r}{100}$. Тогда в конце первого года после начисления процентов долг стал равным $Ak_1$, а в конце второго года после начисления процентов $Ak_1 k_2$, и именно эту сумму нужно выплатить банку в конце срока кредита. Чтобы суммарная выплата не превысила исходную сумму кредита более чем на четверть, должно быть выполнено неравенство $$Ak_1 k_2 -A \leqslant \cfrac{1}{4}A,$$ откуда $$\cfrac{11}{10}\cdot \left(1+\cfrac{10}{100}\right)\leqslant \cfrac{5}{4}.$$ Решая это неравенство, найдем $r\leqslant \cfrac{150}{11}$. Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является число $13$. Ответ: $13$.