Экономические линейные задачи часть 2

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 2 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется $60$ рабочих, каждый из которых готов трудиться $5$ часов в день. При этом один рабочий за час добывает $2$ кг алюминия или $3$ кг никеля. Во второй шахте имеется $260$ рабочих, каждый из которых готов трудиться $5$ часов в день. При этом один рабочий за час добывает $3$ кг алюминия или $2$ кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Решение. Для удобства будем использовать условную единицу измерения работы — человекочас (чел-ч). На первой шахте общий объем работ составит $60\cdot 5 = 300$ чел-ч в день, а на второй $260\cdot 5 =1300$ чел-ч. Пусть в первой шахте $x$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $(300 - x)$ чел-ч — на добычу никеля, при этом 1 чел-ч на первой шахте приносит $2$ кг алюминия или $3$ кг никеля. Во второй шахте $y$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $(1300 - y)$ чел-ч — на добычу никеля, при этом 1 чел-ч на второй шахте приносит $3$ кг алюминия или $2$ кг никеля. Тогда массы добытых за сутки алюминия и никеля будут соответственно равны $$ \begin{array}{l} m_{Al} = 2x + 3y, \\ m_{Ni} = 3(300 - x) + 2(1300 - y). \end{array} $$ Поскольку в сплаве массы алюминия и никеля относятся как $2:1$, получим уравнение $$ 2x + 3y = 2 (3(300 - x) + 2(1300 - y)), $$ откуда $y = 1000 - \cfrac{8}{7} x$. Масса сплава равна сумме масс алюминия и никеля, следовательно, $$ M = 2x + 3y + 3(300 - x) + 2(1300 - y) - y = 3500 - x + y= 3500-x+1000 - \cfrac{8}{7} x=4500-\cfrac{15}{7} x. $$ Масса произведенного сплава является линейно убывающей функцией переменной $x$. Значит, для максимальной массы сплава величина $x$ должна быть минимально возможной. По смыслу задачи величины $x$ и $y$ должны принимать неотрицательные значения, удовлетворяющие условиям $$ \left\{\begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 300,\\ 0 \leqslant y \leqslant 1300,\\ \end{array} \right. $$ кроме этого из условия связи $x$ и $y$ и этих ограничений следует еще одно неравенство $1000-\cfrac{8}{7}\cdot 300\leqslant y \leqslant 100$. Отсюда, выбирая величину $x$ минимально возможной $x=0$, получим $M = 4500$ кг. Ответ: $4500$ кг. Задача 3 Бригаде грузчиков выделена некоторая сумма денег на разгрузку баржи, однако $3$ человека заболели и в работе не участвовали. Оставшиеся выполнили задание, заработав каждый на $1,5$ тысячи рублей больше, чем в случае работы в составе полной бригады. Определите выделенную бригаде сумму денег, если $5%$-ный сбор за ее банковский перевод обошелся работодателю дополнительно в величину, находящуюся в пределах от $1,2$ до $1,6$ тысяч рублей. Решение. Пусть $S$ — сумма денег, выделенная бригаде, $N$ — количество грузчиков в бригаде ($N$ — натуральное число, большее, чем 3). Тогда из условия задачи следует, что $$ \left\{\begin{array}{l} \cfrac{S}{N} = \cfrac{S}{N-3}-1500, \\ 1200\leqslant 0,05 S\leqslant 1600. \end{array}\right. $$ Неравенство дает нам ограничения $24000\leqslant S\leqslant 32000$. Преобразовав уравнение, содержащееся в системе, получим: $$ S=500N(N-3).$$ Тогда из неравенства следует, что $$ 24000\leqslant 500N(N-3)\leqslant 32000. $$ Решая систему квадратных неравенств, получаем, что $N$ находится в диапазоне примерно от $8,5$ до $9,5$ следовательно, $N=9$. Отсюда $S=500\cdot 9 \cdot 6 =27000$ рублей. Ответ: $27000$ рублей.