Экономические линейные задачи часть 2

Задача 5 Три бригады, выполняя одинаковое задание, работают с постоянными производительностями труда. Известно, что первая и вторая бригады, работая вместе, выполняют это задание не более чем за $9$ дней, а вторая и третья бригады, также работая вместе, — не менее, чем за $18$ дней. Если же вместе работают первая и третья бригады, то задание выполняется ими ровно за $12$ дней. Известно также, что производительность третьей бригады максимально возможная при указанных условиях. За сколько дней выполняет задание одна вторая бригада? Решение. Пусть $p_1$, $p_2$, $p_3$ — производительности бригад в единицах задания в день. Из условия задачи следует система $$ \left\{\begin{array}{l} \cfrac{1}{p_1 + p_2} \leqslant 9,\\ \cfrac{1}{p_2 + p_3} \geqslant 18,\\ \cfrac{1}{p_1 + p_3} = 12. \\ \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 1 \leqslant 9p_1 + 9p_2,\\ 1 \geqslant 18p_2 + 18p_3,\\ 1= 12p_1 + 12p_3.\\ \end{array}\right. $$ Подставляя в неравенства системы вместо единицы выражение из правой части уравнения и преобразуя полученные неравенства, найдем $$ \left\{\begin{array}{l} 2p_1 \leqslant 6p_2-8p_3,\\ 2p_1 \geqslant 3p_2+p_3,\\ \end{array}\right. $$ или $$3p_2+p_3 \leqslant 2p_1 \leqslant 6p_2-8p_3,$$ откуда, сравнивая только крайние части двойного неравенства, найдем $p_3\leqslant \cfrac{p_2}{3}$. Так как по условию производительность третьей бригады максимально возможная, то $p_3= \cfrac{p_2}{3}$. Подставив это выражение вместо $p_3$ в полученное выше двойное неравество, найдем $$\cfrac{10}{3}p_2 \leqslant 2p_1 \leqslant \cfrac{10}{3}p_2.$$ Значит, $2p_1=\cfrac{10}{3}p_2$, или $p_1=\cfrac{5}{3}p_2$. Подставив выражения для $p_1$ и $p_3$ через $p_2$ в уравнение исходной системы, найдем $24p_2=1$, откуда $\cfrac{1}{p_2}=24$. Таким образом, одна вторая бригада выполнит задание за 24 дня. Ответ: $24$ дня. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 6 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Три насоса наполняют водой бассейн, работая с неизменными производительностями. Известно, что первый и второй насосы, работая вместе, заполняют этот бассейн ровно за $8$ часов. Второй и третий насосы, также работая вместе, заполняют бассейн не более, чем за $6$ часов, а вместе работающие первый и третий насосы, — не менее, чем за $12$ часов. Известно, что первый насос всегда работает с максимально возможной для него производительностью. За сколько часов наполняет бассейн один третий насос? Решение. Пусть $p_1$, $p_2$, $p_3$ — производительности насосов в бассейнах в час. Из условия задачи следует система $$ \left\{\begin{array}{l} \cfrac{1}{p_1 + p_2} =8,\\ \cfrac{1}{p_2 + p_3} \leqslant 6,\\ \cfrac{1}{p_1 + p_3} \geqslant 12. \\ \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 1 = 8p_1 + 8p_2,\\ 1 \leqslant 6p_2 + 6p_3,\\ 1 \geqslant 12p_1 + 12p_3.\\ \end{array}\right. $$ Подставляя в неравенства системы вместо единицы выражение из правой части уравнения и преобразуя полученные неравенства, найдем $$ \left\{\begin{array}{l} 3p_3 \geqslant 4p_1+p_2,\\ 3p_3 \leqslant 2p_2-p_1,\\ \end{array}\right. $$ или $$4p_1+p_2 \leqslant 3p_3 \leqslant 2p_2-p_1,$$ откуда, сравнивая только крайние части двойного неравенства, найдем $p_1\leqslant \cfrac{1}{5}p_2$. Так как по условию производительность первого насоса максимально возможная, то $p_1= \cfrac{1}{5}p_2$. Подставив это выражение вместо $p_1$ в полученное выше двойное неравество, найдем $$\cfrac{9}{5}p_2 \leqslant 3p_3 \leqslant \cfrac{9}{5}p_2.$$ Значит, $3p_3=\cfrac{9}{5}p_2$, или $p_3=\cfrac{3}{5}p_2$, откуда $p_2=\cfrac{5}{3}p_3$. Тогда $p_1= \cfrac{1}{5}p_2=\cfrac{1}{3}p_3$. Подставив выражения для $p_1$ и $p_2$ через $p_3$ в уравнение исходной системы, найдем $16p_3=1$, откуда $\cfrac{1}{p_3}=16$. Таким образом, один третий насос наполняет бассейн за 16 часов. Ответ: $16$ часов.