Кое-что о вращении Земли, согнутых линейках и меандрах рек: Часть 2

Видео

Конспект

Пока мы мешаем чай ложкой, мы поддерживаем вращение жидкости. Но если вынуть ложку из стакана, то вследствие трения между отдельными слоями жидкости (вязкости) и трения о стенки и дно стакана кинетическая энергия будет переходить в тепло, и жидкость постепенно остановится.

По мере уменьшения частоты вращения поверхность жидкости выпрямляется. При этом внутри жидкости возникают вихревые потоки, направление которых показано на рисунке сверху. Происхождение вихревых потоков связано с неодинаковым торможением жидкости у дна стакана и у поверхности. На глубине вследствие большого трения о дно стакана жидкость тормозится сильнее, чем у поверхности. Поэтому у частичек жидкости, находящихся на одинаковом расстоянии от оси вращения, оказываются разные скорости - чем ближе к дну стакана, тем меньше скорость. А равнодействующая сил «бокового» давления, действующих на такие частички, одна и та же. Эта сила уже не может по всей глубине вызвать необходимое центростремительное ускорение (как в случае вращения всей массы жидкости с одной и той же угловой скоростью). У поверхности угловая скорость слишком большая, и частицы воды отбрасываются к стенкам стакана: у дна угловая скорость мала, и результирующая сил давления заставляет воду двигаться к центру.

Теперь понятно, почему чаинки собираются в центре на дне стакана - они увлекаются возникающими при торможении вихревыми потоками. Конечно, такое рассмотрение - довольно упрощенное, но оно правильно отражает суть явления.

Теперь когда мы рассмотрели модель подходящую для малого явления – обратимся обратно к рекам.

Как меняются русла рек

Давайте разберем характер движения воды в реке при повороте русла. Здесь возникает картина, похожая на движение воды в стакане. Поверхность воды наклоняется в сторону поворота так, чтобы разность сил давления сообщала необходимое центростремительное ускорение (на рисунке далее показано вертикальное сечение реки на повороте). Так же как в стакане с чаем, скорость воды у дна вследствие трения меньше, чем у поверхности реки (распределение скоростей по глубине показано на рисунке; красным цветом выделена вертикальная плоскость, перпендикулярная сечению реки). Поэтому у поверхности результирующая сил давления не в состоянии обеспечить движения частиц воды по окружности с большой скоростью, и вода «отбрасывается» к дальнему (от центра поворота) берегу. У дна, наоборот, скорость движения мала, и вода устремляется к ближнему берегу (к центру поворота). Таким образом, дополнительно к основному течению возникает циркуляция воды.

Такая циркуляция воды приводит к эрозии (разрушению) почвы. B результате далекий от центра поворота берет разрушается (подмывается), а у близкого берега постепенно осаждается все больший слой почвы (вспомните чаинки в стакане!). Форма русла меняется и приобретает такой вид, как на рисунке.

МеаРек4 Такая же циркуляция воды может возникнуть и при прямолинейном течении реки вследствие вращения Земли. Теорема Кориолиса гарантирует нам возникновение <<бокового ускорения>> величиной

a_К = 2 \omega v. Карл Бэр считал, что Кориолисово ускорение это вообще основная причина меандрирования, что впрочем не подтверждается, так как реки текущие с запада на восток и с востока на запад тоже меандрируют, и, есть реки (например, Березина) текущие в северном полушарии с севера на юг, при этом их правый берег круче левого.

Интересно проследить за тем, как меняется скорость воды по ширине реки (от берега к берегу). На прямолинейных участках русла с максимальной скоростью течет вода посередине реки. При изгибе русла линия тока, соответствуюшая максимальной скорости, смещается к дальнему от центра поворота берегу. Это происходит вследствие того, что повернуть быстрые частицы воды труднее, так как для этого необходимо создать большее центростремительное ускорение. Но там, где больше скорость течения, возникает и более сильная циркуляция воды и, соответственно, большая эрозия почвы. Вот почему самое быстрое место в русле реки обычно оказывается и самым глубоким. Это правило хорошо знают речники, осуществляющие навигацию.

Эрозия почвы у дальнего берега и ее осаждение у ближнего приводят к постепенному смещению всего русла реки в сторону от центра поворота и, тем самым, к увеличению изгиба реки. На рисунке выше показаны профили дна в одном и том же месте русла реальной реки в разные годы. Ясно видно, как происходило постепенное перемещение русла и увеличение изгиба.

Таким образом, даже небольшой начальный изгиб, возникший по случайной причине (например, вследствие обвала, падения дерева и т. п.), будет со временем увеличиваться. Прямолинейное течение реки по однородной равнине является неустойчивым.

Форма русла реки во многом определяется рельефом местности. Река, текущая по неровной местности, извивается таким образом, чтобы избежать высоких мест и заполнить низины, выбирает путь с максимальным уклоном.

А как текут реки по равнинам? Как влияет на форму русла описанная выше неустойчивость прямолинейного течения реки по отношению к изгибам? Такая неустойчивость приводит к увеличению длины реки, и река начинает извиваться. Естественно думать, что в идеальном случае (совершенно ровная однородная местность) должна возникнуть периодическая кривая. Қакова ее форма?

Геологи высказали предположение, что русла рек, текущих по равнинам, на изгибах должны принимать форму ... изогнутой линейки. Возьмите стальную линейку и попытайтесь сжать линейку вдоль ее длины (уменьшить расстояние между ее концами). Линейка изогнется (как на рисунке). Такой упругий изгиб называют эйлеровым изгибом, а получающаяся при повторениях кривая называется эйлеровой эластикой. Давайте обсудим этот вопрос подробнее.

Эйлеровы эластики: постановка задачи и некоторые результаты

Задача имеет простой физический смысл: дан упругий стержень фиксированной длины с закрепленными концами и направлениями стержня в концах. Требуется определить форму стержня. Возможные формы, которые может принимать упругий стержень, открыл сам Леонард Эйлер, собственно поэтому, они и называются эйлеровыми эластиками.

Когда Вы начнёте изучать сопромат, Вы докажете, что минимум потенциальной энергии упругого тела достигается тогда, когда интеграл квадрата кривизны имеет наименьшее значение вдоль искомой кривой:

\int_0^{t_1} k^2(t) d t \rightarrow \min. Пока же мы примем это утверждение на веру. Собственно оно и граничные условия (положения концов стержня и угол под которым концы стержня закреплены) дают достаточно материала для решения данной задачи.

Полное решение довольно сложно математически и может стать полноценной темой для университетской курсовой работы. Мы же однако хотим лишь показать отправную точку (что и проделали выше) и некоторые из получающихся результатов.

Эйлерова эластика обладает замечательным свойством: из всех кривых заданной длины, соединяющих данные точки, она в среднем наименее изогнута. Если измерить угловые отклонения \theta (см. рисунок) через равные расстояния вдоль длины кривой и просуммировать квадраты угловых отклонений, то для эйлеровой кривой эта сумма будет минимальной (что в общем и целом эквивалентно минимизацию интеграла выше). Такой «экономный» изгиб эйлеровой кривой и послужил основанием для гипотезы о форме русел рек.

МеаРек5 Геологи моделировали процесс изменения русла реки в искусственном канале, продолженном в однородной среде, которая приготовлялась из мелких частиц, слабо скрепленных между собой и потому довольно легко подвергающихся эрозии. Очень скоро прямолинейный канал начинал извиваться, причем форма изгибов описывалась именно эйлеровой кривой (рисунок слева).

МеаРек6 Конечно, в реальных условиях такого совершенства в форме русел рек не наблюдается (например, из-за неоднородности почвы). Но на равнинах реки обычно изгибаются и образуют периодическую структуру. На рисунке справа показаны русла реальных рек и пунктиром проведены эйлеровы кривые, наиболее близкие к форме русел.

Меандрами сейчас называют и периодические изгибы океанских течений, а также ручьев, образующихся на ровной поверхности ледников. Во всех этих явлениях в однородных средах случайные процессы приводят к образованию периодической структуры, и хотя причины, вызывающие изгибы, могут быть разными, форма образующихся периодических кривых оказывается одинаковой.