Сплавы и смеси Часть 1

Задача 3 Условие Бронзовая медаль олимпийских игр имеет массу $M=300$ г и плотность $\rho=8,6$ $г/см^3$. Известно, что бронза является сплавом меди и олова. Определить массу олова в медали, если плотность олова равна $\rho_{0}=7,3$ $г/см^3$, а плотность меди - $\rho_{\text {м }}=8,9$ $г/см^3$. Ответ выразить в г, округлив до целых. Решение $$ \begin{aligned} & m=m_{\text {ол }}+m_{м} \rightarrow m_{м}=m-m_{\text {ол }} \quad \Rightarrow \quad V = V_{ол} + V_{м}\quad \Rightarrow \quad m=V \cdot \rho \quad \Rightarrow \\ &\Rightarrow \quad \frac{m}{\rho}=V_{\text {ол }}+V_{м} \quad \Rightarrow \quad \frac{m}{\rho}=\frac{m_{\text {ол }}}{\rho_{\text {ол }}}+\frac{m_{м}}{\rho_{м}} \end{aligned} $$ Вместо $$ \begin{aligned} &m_{м}=m-m_{\text {ол }} \quad \Rightarrow \quad \frac{m}{\rho}=\frac{m_{\text {ол }}}{\rho_{\text {ол }}}+\frac{m}{\rho_{м}}-\frac{m_{\text {ол }}}{\rho_{м}} \quad \Rightarrow \quad \frac{m}{\rho}-\frac{m}{\rho_{м}}=m_{\text {ол }}\left(\frac{1}{\rho_{\text {ол }}}-\frac{1}{\rho_{м}}\right) \quad \Rightarrow \\ &\Rightarrow \quad m_{\text {ол }}=\frac{m\left(\frac{1}{\rho}-\frac{1}{\rho_{м}}\right)}{\frac{1}{\rho_{\text {ол }}}-\frac{1}{\rho_{м}}}=\frac{300\left(\frac{1}{8,6}-\frac{1}{8,9}\right)}{\frac{1}{7,3}-\frac{1}{8,9}}=\frac{1,1759}{0,0246}=48 \text { г} \end{aligned} $$ Ответ 48 г. Задача 4 Условие В мастерской изготовили из алюминия плотности $\rho_{1}$ куб с ребром $a=10$ см. Внутри куба осталась полость, которую потом залили свинцом плотностью $\rho_{2}$. В результате измерений неопытный лаборант подумал, что перед ним кубик из латуни плотности $\rho=8,72$ $г/см^3$. Определите объем полости в кубе. Решение $$ \begin{cases} \begin{aligned} & V_{\text {полости }}=V_{св} \\ & \rho = \frac{m}{V} \\ & m_{ал}+m_{св}=m \\ & m=\rho \cdot a^{3} \end{aligned} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \rho_{\text {ср }} \cdot a^{3}=\rho_{ал} \cdot V_{ал}+\rho_{св} \cdot V_{св} $$ где $V_{\text {ал }}=V-V_{\text {св }}$. $$ \begin{aligned} & \rho \cdot a^{3}=\rho_{ал} \cdot\left(a^{3}-V_{\text {св }}\right)+\rho_{\text {св }} \cdot V_{св} \quad \Rightarrow \quad \rho \cdot a^{3}=\rho_{\text {ал }} \cdot a^{3}-\rho_{\text {ал }} \cdot V_{св}+\rho_{св} \cdot V_{св} \quad \Rightarrow \\ & \Rightarrow \quad a^{3}\left(\rho-\rho_{\text {ал }}\right)=V_{св}\left(\rho_{св}-\rho_{\text {ал }}\right) \quad \Rightarrow \quad V_{св}=\frac{a^{3}\left(\rho-\rho_{\text {ал }}\right)}{\rho_{св}-\rho_{\text {ал }}} \quad \Rightarrow \\ &\Rightarrow \quad V_{св}=\frac{1000 см^{3}(8,72-2,7) г/см^{3}}{(11,3-2,7) г/см^{3}}=700 см^{3} \end{aligned} $$ Ответ 700 $см^{3}$. Задача 5 Условие В одной стране геолог нашёл чёрный метеорит с вкраплениями золота. Плотность чёрного метеоритного вещества оказалась $\rho_{ч}=5000 кг/м^{3}$. Плотность золота $\rho_{з}=19800 кг/м^{3}$. Масса всего метеорита $m=2$ кг, а его средняя плотность $\rho=6000 кг/м^{3}$. На чёрном рынке геологу за чёрный метеорит с ходу предложили 6000$, и геолог согласился на сделку. Во сколько раз (и в какую сторону) эта сумма отличается от реальной стоимости золота, содержащегося в этом метеорите? В то время тройская унция золота стоила 1700\$, а одна тройская унция равна 31,1 грамма. \newpage Решение $$ V=\frac{m}{\rho_{ср}} =\frac{2000 г}{6 \frac{ г}{ см^{3}}}=333,3 см^{3} $$ $$ \begin{aligned} &\begin{cases} \begin{aligned} & V=V_{ч}+V_{з} \\ & m=m_{ч}+m_{з} \end{aligned} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \begin{aligned} & V=\frac{m_{ч}}{\rho_{ч}}+\frac{m_{з}}{\rho_{з}} \\ & m_{ч}=m-m_{з} \end{aligned} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad V=\frac{m-m_{з}}{\rho_{ч}}+\frac{m_{з}}{\rho_{з}} \quad \Rightarrow \\ & \\ & \Rightarrow \quad V=\frac{\rho_{з}\left(m-m_{з}\right)+m_{з} \cdot \rho_{ч}}{\rho_{ч} \cdot \rho_{з}} \quad \Rightarrow \quad V \rho_{ч} \rho_{з}=\rho_{з} m-\rho_{з} m_{з}+m_{з} \rho_{ч} \quad \Rightarrow \\ & \\ & \Rightarrow \quad V \rho_{ч} \rho_{з}=\rho_{з} m-m_{з}\left(\rho_{з}-\rho_{ч}\right) \quad \Rightarrow \quad m_{з}=\frac{\rho_{з} m-V \rho_{ч} \rho_{з}}{\rho_{з}-\rho_{ч}} \quad \Rightarrow \\ & \\ &\Rightarrow \quad m_{з}=\frac{19,8 \cdot 2000-333,3 \cdot 5 \cdot 19,8}{19,8-5}=\frac{39600-32996,7}{14,8}=446,17 г \end{aligned} $$ 1. Реальная стоимость $= $=24232,8 \$ $ 2. Обманули на $ 24232,8 \$-6000 \$=18232,8 \$ $ Ответ 24232,8 $; на 18232,8 $.