Сплавы и смеси Часть 1

Задача 1 Условие Металлическая плита из сплава золота с медью имеет объем 1000 $см^3$. Масса плиты 10 кг. Определите процентное содержание золота и меди в плите а) по массе, б) по объему. Решение a) $$ \begin{aligned} & \rho_{\text {спл }}=\frac{m}{V}=10 г/см^3 \\ & \rho_{\text {спл }}=\frac{m}{V_{з}+V_{м}} =\frac{m}{\frac{m_{з}}{\rho_{з}}+\frac{\left(m-m_{з}\right)}{\rho_{м}}} =\frac{m \cdot \rho_{з} \cdot \rho_{м}}{m_{з} \rho_{м}+m \rho_{з}-\rho_{з} m_{з}} =\frac{m \cdot \rho_{з} \cdot \rho_{м}}{m_{з}\left(\rho_{м}-\rho_{з}\right)+m_{з} \rho_{з}} = \\ & =\frac{\rho_{з} \cdot \rho_{м}}{\frac{m_{з}}{m}\left(\rho_{м}-\rho_{з}\right)+\rho_{з}} \\ & \\ &\frac{m_{з}}{m}\left(\rho_{м}-\rho_{з}\right)+\rho_{з}=\frac{\rho_{з} \cdot \rho_{м}}{\rho_{\text {спл }}} \quad \Rightarrow \quad \frac{m_{з}}{m}\left(\rho_{м}-\rho_{з}\right)=\frac{\rho_{з} \cdot \rho_{м}}{\rho_{\text {спл }}}-\rho_{з} \quad \Rightarrow \\ & \Rightarrow \quad \frac{m_{з}}{m}(8,9-19,3)=\frac{19,3 \cdot 8,9}{10}-19,3 \quad \Rightarrow \quad \frac{m_{з}}{m}(-10,4)=-2,123 \quad \Rightarrow \\ & \Rightarrow \quad \frac{m_{з}}{m}=\frac{-2,123}{-10,4}=0,204=20,4 \ \end{aligned} $$ б) $$ \begin{aligned} &m=m_{з}+m_{м} \quad \Rightarrow \quad m=V_{з} \cdot \rho_{з}+\left(V-V_{з}\right) \cdot \rho_{м} \quad \Rightarrow \\ &\Rightarrow \quad m=V_{з} \cdot \rho_{з}+V \cdot \rho_{м}-V_{з} \cdot \rho_{м} \quad \Rightarrow \\ &\Rightarrow \quad m=V_{з}\left(\rho_{з}-\rho_{м}\right)+V \cdot \rho_{м} \quad \Rightarrow \quad V_{з}=\frac{m-V \cdot \rho_{м}}{\rho_{з}-\rho_{м}} \quad \Rightarrow \\ & \Rightarrow \quad V_{з}=\frac{10000-1000 \cdot 8,9}{19,3-8,9}=\frac{1100}{10,4}=105,77 \quad \Rightarrow \\ & \Rightarrow \quad \frac{V_{з}}{V}=\frac{105,77}{1000}=0,1057=10,577 \ & \Rightarrow \quad \frac{V_{м}}{V}=89,423 \ \end{aligned} $$ Ответ 79,6 Задача 2 Условие Согласно легенде, царь попросил Архимеда выяснить, сделана ли корона из чистого золота или из сплава золота с серебром. Архимед измерил массу короны, а затем, опустив ее в наполненный доверху сосуд с водой и измерив объем вытесненной воды, узнал объем короны. Предположим, оказалось, что масса короны 2,6 кг, а ее объем 180 $см^3$. Может ли такая корона быть сделана из чистого золота? Если она сделана из сплава, то чего в ней больше (по объему): золота или серебра? Решение 1) $$ \begin{gathered} \rho_{з}=19300 кг/м^{3}=19,3 г/см^{3} \\ \rho_{ с}=10500 кг/м^{3}=10,5 \text { г/см }^{3} \\ \rho_{\text {короны }}=\frac{2600 \text { г }}{180 см^{3}}=14,4 г/см^{3}-\text { не из чистого золота } \end{gathered} $$ 2) $$ m=m_{з}+m_{ с} \quad \Rightarrow \quad m=V_{з} \cdot \rho_{з}+V_{ с} \cdot \rho_{ с} $$ т.к. $$ V=V_{з}+V_{ с} \quad \Rightarrow \quad V_{ с}=V-V_{з} $$ $$ \begin{aligned} &m=V_{з} \cdot \rho_{з}+\left(V-V_{з}\right) \cdot \rho_{ с} \quad \Rightarrow \quad m=V_{з} \cdot \rho_{з}+V \cdot \rho_{ с}-V_{з} \cdot \rho_{ с} \quad \Rightarrow \\ &\Rightarrow \quad m=V_{з}\left(\rho_{з}-\rho_{ с}\right)+V \cdot \rho_{ с} \quad \Rightarrow \\ &\Rightarrow \quad V_{з}=\frac{m-V \rho_{ с}}{\rho_{з}-\rho_{ с}} \quad \Rightarrow \quad V_{з}=\frac{2600 г-180 см^{3} \cdot 10,5 г/см^{3}}{(19,3-10,5) г/см^{3}}=80,68 см^{3} \quad \Rightarrow \\ &\Rightarrow \quad \frac{V_{з}}{V}=\frac{80,68 см^{3}}{180 см^{3}}=0,45=45 \ \end{aligned} $$ Ответ 45