Сплавы и смеси Часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Экспериментатор Глюк наполнил две одинаковые легкие бутылки емкостью 1 л кварцевым песком до самого верха и взвесил их. Получились одинаковые массы 1530 г. Затем Глюк аккуратно пересыпал песок из одной бутылки в пакет, заполнил бутылку наполовину водой и медленно высыпал весь песок из пакета в бутылку, которая снова оказалась заполненной до самого верха. Весы показали массу бутылки 1866 г. Какова плотность кварца?

Решение

1. Анализ начального заполнения водой: V_{в1} = \frac{V_{б}}{2} = 0{,}0005 м^3 m_{в1} = V_{в1} \cdot \rho_{в} = 0{,}0005 м^3 \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} = 0{,}5 кг Вывод: Так как мы засыпаем песок в воду, объем песка вытесняет воду. \Downarrow Часть воды вылилась!

2. Основной расчет:

Пусть m_{в2} — масса оставшейся в бутылке воды. m = m_{к} + m_{в2} Отсюда находим массу воды, заполнившей поры: m_{в2} = m - m_{к} m_{в2} = 1{,}866 - 1{,}53 = 0{,}336 кг

Объем бутылки складывается из объема кварца ( V_{к} ) и объема оставшейся воды ( V_{в2} ): V_{б} = V_{к} + V_{в2} Выражаем объем кварца: V_{к} = V_{б} - V_{в2} Так как V_{в2} = \frac{m_{в2}}{\rho_{в}} , получаем: V_{к} = V_{б} - \frac{m_{в2}}{\rho_{в}}

3. Вывод итоговой формулы плотности кварца ( \rho_{к} ):

По определению: \rho_{к} = \frac{m_{к}}{V_{к}} Подставляем выражение для объема: \rho_{к} = \frac{m_{к}}{V_{б} - \frac{m_{в2}}{\rho_{в}}} Приводим знаменатель к общему виду (домножаем на \rho_{в} ): \rho_{к} = \frac{m_{к} \cdot \rho_{в}}{\rho_{в} V_{б} - m_{в2}}

4. Подстановка чисел и ответ: \rho_{к} = \frac{1{,}53 \cdot 1000}{1000 \cdot 0{,}001 - 0{,}336} = \frac{1530}{1 - 0{,}336} = \frac{1530}{0{,}664} \rho_{к} \approx 2304 \frac{кг}{м^3}

Ответ 2304 кг/м^3

Задача 2

Условие

После добавления сиропа объёмом V=1 л в большую кастрюлю, частично заполненную водой, плотность содержимого кастрюли возросла на \Delta \rho=20 кг/м^{3} , а объём того, что содержится в кастрюле, увеличился на четверть. Чему равна плотность сиропа? Какой объём сиропа надо дополнительно добавить к полученной смеси, чтобы увеличить её плотность ещё на \Delta \rho ? Считайте, что сироп хорошо растворяется в воде и что объём смеси равен сумме объёмов исходных жидкостей. Плотность воды \rho_{0}=1000 кг/м^{3} .

Решение

Часть 1. Поиск плотности сиропа ( \rho_{с} )

Дано из схемы: Объем воды в начале ( V_{в1} ) составляет 4 части, объем сиропа V — 1 часть. V_{в1} = 4V Общий объем смеси: 5V .

Уравнения плотности первой смеси ( \rho_2 ): По условию плотность выросла на \Delta \rho : \rho_2 = \rho_{воды} + \Delta \rho

По определению плотности (масса делить на объем): \rho_2 = \frac{m_{в} + m_{с}}{5V}

Приравниваем правые части и расписываем массы ( m = \rho V ): \rho_{воды} + \Delta \rho = \frac{\rho_{в} \cdot 4V + \rho_{с} \cdot V}{5V}

Сокращаем на V : \rho_{воды} + \Delta \rho = \frac{V(4\rho_{в} + \rho_{с})}{5V}

Умножаем на 5: 5(\rho_{воды} + \Delta \rho) = 4\rho_{в} + \rho_{с} 5\rho_{воды} + 5\Delta \rho = 4\rho_{в} + \rho_{с}

Выражаем плотность сиропа ( \rho_{с} ): \rho_{с} = 5\rho_{воды} - 4\rho_{в} + 5\Delta \rho \rho_{с} = \rho_{воды} + 5\Delta \rho

Расчет: \rho_{с} = 1000 \frac{кг}{м^3} + 5 \cdot 20 \frac{кг}{м^3} = 1100 \frac{кг}{м^3}

Часть 2. Поиск дополнительного объема ( V_x )

Условие для второй смеси ( \rho_3 ): Плотность увеличивается еще на \Delta \rho : \rho_3 = \rho_1 + \Delta \rho + \Delta \rho = \rho_1 + 2\Delta \rho (где \rho_1 = \rho_{воды} )

Записываем уравнение плотности для нового состояния (добавили массу m_{сx} и объем V_x ): \rho_3 = \frac{m_{в} + m_{с} + m_{сx}}{5V + V_x}

Подставляем выражения через плотности и объемы: \rho_3 = \frac{\rho_{в} \cdot 4V + \rho_{с} \cdot V + \rho_{с} \cdot V_x}{5V + V_x}

Решаем уравнение относительно V_x (перекрестное умножение): \rho_3(5V + V_x) = \rho_{в} \cdot 4V + \rho_{с} \cdot V + \rho_{с} V_x Раскрываем скобки: \rho_3 5V + \rho_3 V_x = \rho_{в} 4V + \rho_{с} V + \rho_{с} V_x

Группируем слагаемые с V_x справа, а с V слева: V(\rho_3 \cdot 5 - \rho_{в} \cdot 4 - \rho_{с}) = V_x(\rho_{с} - \rho_3)

Выражаем V_x : V_x = \frac{V(\rho_3 \cdot 5 - \rho_{в} \cdot 4 - \rho_{с})}{(\rho_{с} - \rho_3)}

Подстановка чисел и ответ: V_x = V \cdot 1{,}67 Так как V = 1 л : V_x = 1{,}67 л

Ответ 1100 \frac{кг}{м^3};\quad 1{,}67 л .