Сплавы и смеси Часть 2

Задача 1 Условие Экспериментатор Глюк наполнил две одинаковые легкие бутылки емкостью 1 л кварцевым песком до самого верха и взвесил их. Получились одинаковые массы 1530 г. Затем Глюк аккуратно пересыпал песок из одной бутылки в пакет, заполнил бутылку наполовину водой и медленно высыпал весь песок из пакета в бутылку, которая снова оказалась заполненной до самого верха. Весы показали массу бутылки 1866 г. Какова плотность кварца? Решение 1. Анализ начального заполнения водой: $$ V_{в1} = \frac{V_{б}}{2} = 0{,}0005 м^3 $$ $$ m_{в1} = V_{в1} \cdot \rho_{в} = 0{,}0005 м^3 \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} = 0{,}5 кг $$ Вывод: Так как мы засыпаем песок в воду, объем песка вытесняет воду. $$ \Downarrow $$ Часть воды вылилась! 2. Основной расчет: Пусть $m_{в2}$ — масса оставшейся в бутылке воды. $$ m = m_{к} + m_{в2} $$ Отсюда находим массу воды, заполнившей поры: $$ m_{в2} = m - m_{к} $$ $$ m_{в2} = 1{,}866 - 1{,}53 = 0{,}336 кг $$ Объем бутылки складывается из объема кварца ($V_{к}$) и объема оставшейся воды ($V_{в2}$): $$ V_{б} = V_{к} + V_{в2} $$ Выражаем объем кварца: $$ V_{к} = V_{б} - V_{в2} $$ Так как $V_{в2} = \frac{m_{в2}}{\rho_{в}}$, получаем: $$ V_{к} = V_{б} - \frac{m_{в2}}{\rho_{в}} $$ 3. Вывод итоговой формулы плотности кварца ($\rho_{к}$): По определению: $$ \rho_{к} = \frac{m_{к}}{V_{к}} $$ Подставляем выражение для объема: $$ \rho_{к} = \frac{m_{к}}{V_{б} - \frac{m_{в2}}{\rho_{в}}} $$ Приводим знаменатель к общему виду (домножаем на $\rho_{в}$): $$ \rho_{к} = \frac{m_{к} \cdot \rho_{в}}{\rho_{в} V_{б} - m_{в2}} $$ 4. Подстановка чисел и ответ: $$ \rho_{к} = \frac{1{,}53 \cdot 1000}{1000 \cdot 0{,}001 - 0{,}336} = \frac{1530}{1 - 0{,}336} = \frac{1530}{0{,}664} $$ $$ \rho_{к} \approx 2304 \frac{кг}{м^3} $$ Ответ $2304 кг/м^3$ Задача 2 Условие После добавления сиропа объёмом V=1 л в большую кастрюлю, частично заполненную водой, плотность содержимого кастрюли возросла на $\Delta \rho=20 кг/м^{3}$, а объём того, что содержится в кастрюле, увеличился на четверть. Чему равна плотность сиропа? Какой объём сиропа надо дополнительно добавить к полученной смеси, чтобы увеличить её плотность ещё на $\Delta \rho$ ? Считайте, что сироп хорошо растворяется в воде и что объём смеси равен сумме объёмов исходных жидкостей. Плотность воды $\rho_{0}=1000 кг/м^{3}$. Решение Часть 1. Поиск плотности сиропа ($\rho_{с}$) Дано из схемы: Объем воды в начале ($V_{в1}$) составляет $4$ части, объем сиропа $V$ — $1$ часть. $$ V_{в1} = 4V $$ Общий объем смеси: $5V$. Уравнения плотности первой смеси ($\rho_2$): По условию плотность выросла на $\Delta \rho$: $$ \rho_2 = \rho_{воды} + \Delta \rho $$ По определению плотности (масса делить на объем): $$ \rho_2 = \frac{m_{в} + m_{с}}{5V} $$ Приравниваем правые части и расписываем массы ($m = \rho V$): $$ \rho_{воды} + \Delta \rho = \frac{\rho_{в} \cdot 4V + \rho_{с} \cdot V}{5V} $$ Сокращаем на $V$: $$ \rho_{воды} + \Delta \rho = \frac{V(4\rho_{в} + \rho_{с})}{5V} $$ Умножаем на 5: $$ 5(\rho_{воды} + \Delta \rho) = 4\rho_{в} + \rho_{с} $$ $$ 5\rho_{воды} + 5\Delta \rho = 4\rho_{в} + \rho_{с} $$ Выражаем плотность сиропа ($\rho_{с}$): $$ \rho_{с} = 5\rho_{воды} - 4\rho_{в} + 5\Delta \rho $$ $$ \rho_{с} = \rho_{воды} + 5\Delta \rho $$ Расчет: $$ \rho_{с} = 1000 \frac{кг}{м^3} + 5 \cdot 20 \frac{кг}{м^3} = 1100 \frac{кг}{м^3} $$ Часть 2. Поиск дополнительного объема ($V_x$) Условие для второй смеси ($\rho_3$): Плотность увеличивается еще на $\Delta \rho$: $$ \rho_3 = \rho_1 + \Delta \rho + \Delta \rho = \rho_1 + 2\Delta \rho $$ (где $\rho_1 = \rho_{воды}$) Записываем уравнение плотности для нового состояния (добавили массу $m_{сx}$ и объем $V_x$): $$ \rho_3 = \frac{m_{в} + m_{с} + m_{сx}}{5V + V_x} $$ Подставляем выражения через плотности и объемы: $$ \rho_3 = \frac{\rho_{в} \cdot 4V + \rho_{с} \cdot V + \rho_{с} \cdot V_x}{5V + V_x} $$ Решаем уравнение относительно $V_x$ (перекрестное умножение): $$ \rho_3(5V + V_x) = \rho_{в} \cdot 4V + \rho_{с} \cdot V + \rho_{с} V_x $$ Раскрываем скобки: $$ \rho_3 5V + \rho_3 V_x = \rho_{в} 4V + \rho_{с} V + \rho_{с} V_x $$ Группируем слагаемые с $V_x$ справа, а с $V$ слева: $$ V(\rho_3 \cdot 5 - \rho_{в} \cdot 4 - \rho_{с}) = V_x(\rho_{с} - \rho_3) $$ Выражаем $V_x$: $$ V_x = \frac{V(\rho_3 \cdot 5 - \rho_{в} \cdot 4 - \rho_{с})}{(\rho_{с} - \rho_3)} $$ Подстановка чисел и ответ: $$ V_x = V \cdot 1{,}67 $$ Так как $V = 1 л$: $$ V_x = 1{,}67 л $$ Ответ $1100 \frac{кг}{м^3};\quad 1{,}67 л$.