Сложная динамика и кинематика движения по окружности: Часть 2

Задача 2

Условие

В горизонтальной плоской плите сделана полусферическая гладкая лунка радиуса R . Маленький шарик массы m прикреплён с помощью лёгкой нерастяжимой нити длиной L=R к краю лунки (в точке A ). В начальный момент нить натянута, а шарик касается края лунки (рис.). Шарик отпускают, и он без начальной скорости начинает скользить вниз. Найдите силу натяжения нити в момент прохождения шариком нижнего положения. Ускорение свободного падения g .

4c.1 Решение

Траектория движения шарика представляет собой дугу окружности, лежащую в вертикальной плоскости на пересечении сфер радиуса R с центрами в точках O и A (см. рисунок).

4c.2 Радиус этой окружности r=R \sin \varphi . Поскольку треугольник A B O равносторонний, \varphi=\frac{\pi}{3}, \quad \sin \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}. Скорость шарика в нижней точке B найдём из закона сохранения энергии: m g r=\frac{m v^2}{2}.

Так как шарик движется по окружности, его ускорение в точке B равно a=\frac{v^2}{r}=2 g и направлено вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона для шарика в точке B в проекции на ось x : T \cos \varphi-N \cos \varphi=0, следовательно, N=T . Аналогично в проекции на ось y . m a=T \sin \varphi+N \sin \varphi-m g . Получаем 2 T \sin \varphi=3 m g , откуда находим искомую силу натяжения T=m g \sqrt{3}.

Ответ T=m g \sqrt{3}.

Задача 3

Условие

Двойная звезда состоит из двух звезд, находящихся на постоянном расстоянии друг от друга. Космонавт Глюк решил вывести космический корабль на орбиту таким образом, чтобы он находился все время на отрезке, соединяющем звезды, на постоянном расстоянии от каждой из звезд и расходовал при этом минимальное количество топлива. Проведя все расчеты, Глюк нашел, что корабль должен находиться на расстоянии l_1 от первой звезды и l_2 от второй, и успешно вывел корабль на орбиту.

Чему равно отношение M_1 / M_2 масс звезд?

Решение

Обе звезды вращаются вокруг общего центра масс C с постоянной угловой скоростью \omega . При этом звёзды движутся по окружностям с радиусами R_1=\frac{M_2}{M_1+M_2} l, \quad R_2=\frac{M_1}{M_1+M_2} l, где l=l_1+l_2 - расстояние между звездами. Из второго закона Ньютона для движения первой звезды M_1 \omega^2 R_1=\frac{G M_1 M_2}{l^2}, найдем эту угловую скорость: \omega^2=\frac{G\left(M_1+M_2\right)}{l^3}.

Космический корабль массой m должен двигаться с той же угловой скоростью вокруг центра масс двойной звезды по окружности радиусом r=\left|R_1-l_1\right| .

Расход топлива минимален, если двигатель выключен. Это возможно, если центростремительное ускорение корабля при движении по окружности создается только суммарной силой тяжести: m \omega^2 r=-\frac{G M_1 m}{l_1^2}+\frac{G M_2 m}{l_2^2}, откуда \frac{M_1}{M_2}=\frac{\left(l_1+l_2\right)^3-l_2^3}{\left(l_1+l_2\right)^3-l_1^3} \cdot \frac{l_1^2}{l_2^2}

Ответ \frac{M_1}{M_2}=\frac{\left(l_1+l_2\right)^3-l_2^3}{\left(l_1+l_2\right)^3-l_1^3} \cdot \frac{l_1^2}{l_2^2}.