Закон электромагнитной индукции

Задача 4

Условие

Металлический стержень, согнутый в виде буквы П, закреплен в горизонтальной плоскости (рис.). На параллельные стороны стержня опирается концами перпендикулярная перемычка массой 92 г и длиной 1 м. Сопротивление перемычки равно 0,1 Ом. Вся система находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией 0,15 Тл. С какой установившейся скоростью будет двигаться перемычка, если к ней приложить постоянную горизонтальную силу 1,13 Н? Коэффициент трения между стержнем и перемычкой равен 0,25. Сопротивлением стержня пренебречь, Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на перемычку.

s2_t2 Решение

s2_t2_2 При движении перемычки в однородном магнитном поле на её концах возникает ЭДС индукции: |\mathscr{E}_i| = \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|, где \Delta \Phi – изменение магнитного потока за время \Delta t .

Изменение потока равно: \Delta \Phi = B \cdot \Delta S \cos \alpha, где B – модуль магнитной индукции, \Delta S – изменение площади в заштрихованной области, \cos \alpha = \cos 0^\circ – косинус угла между линиями магнитной индукции и нормалью к плоскости контура.

Изменение площади равно: \Delta S = v l \cdot \Delta t, где v и l – соответственно скорость и длина перемычки.

Следовательно, \mathscr{E}_i = Bvl \sin \alpha = Bvl.

Согласно закону Ома для полной цепи в замкнутом контуре возникает индукционный ток: I_{инд} = \frac{E}{R} = \frac{Bvl}{R}, где R – сопротивление перемычки.

Задача 5

Условие

По двум вертикальным проводящим рейкам (см. рисунок), находящимся на расстоянии l и соединенным резистором с сопротивлением R , под действием силы тяжести начинает скользить проводник, длина которого l и масса m . Система находится в однородном магнитном поле, индукция которого B перпендикулярна плоскости рисунка. Какова установившаяся скорость v движения проводника, если сопротивлением самого проводника и реек, а также трением можно пренебречь? Ускорение свободного падения g .

s2_t3 Решение

При движении проводника происходит изменение магнитного потока, значит, по правилу Ленца в контуре будет возникает индукционный ток с таким направлением, чтобы препятствовать изменению магнитного потока контура, значит, направление вектора \overrightarrow{B_i} (магнитное поле, создаваемое индукционным током) направлено противоположно вектору магнитной индукции \overrightarrow{B} . Для определения тока в контуре воспользуемся правилом правой руки (буравчика), для этого направляем по вектору \overrightarrow{B_i} большой палец, а 4 согнутых пальца покажут направление индукционного тока, в данном случае он направлен против часовой стрелки. По правилу левой руки определяем силу Ампера, для этого 4 пальца направляем по току, а ладонь направляем так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, значит, сила Ампера направлена вверх.

s2_t3_2 На рисунке F_A – сила Ампера, mg – сила тяжести.

Сила Ампера находится по формуле: F_A = IBl, где I – сила тока в контуре.

Запишем второй закон Ньютона: \vec{F}_A + m\vec{g} = m\vec{a}, где a – ускорение перемычки.

В установившемся режиме ускорение равно нулю, тогда второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось: mg = I_i Bl \Rightarrow I_i = \frac{mg}{Bl}. ЭДС индукции равна \xi_i = B v_\infty l = I_i R \Rightarrow v_\infty = \frac{mgR}{B^2 l^2}

Задача 6

Условие

Проводник массой 40 г и длиной 10 см равномерно скользит вниз в однородном магнитном поле с индукцией 0,4 Тл, вектор которого направлен от наблюдателя (рисунок представлен видом сбоку). При этом на конденсаторе накапливается заряд 8 мкКл. Найдите энергию, которая накопится на конденсаторе, если сопротивление на резисторе 5 мОм. Рельсы гладкие.

s2_t4 Решение

Пусть вектор магнитной индукции \overrightarrow{B} направлен от нас, масса проводника m , длина проводника l , накопленный заряд на конденсаторе q , сопротивление резистора R . При движении проводника происходит изменение магнитного потока (уменьшение), значит, по правилу Ленца в контуре будет возникает индукционный ток с таким направлением, чтобы препятствовать изменению магнитного потока контура, значит, направление вектора \overrightarrow{B_i} (магнитное поле, создаваемое индукционным током) сонаправлено вектору магнитной индукции \overrightarrow{B} . Для определения тока в контуре воспользуемся правилом правой руки (буравчика), для этого направляем по вектору \overrightarrow{B_i} большой палец, а 4 согнутых пальца покажут направление индукционного тока I_i , в данном случае он направлен по часовой стрелки. На проводник будет действовать сила Ампера, направление которой можно определить по правилу левой руки, для этого 4 пальца направляем по току, а ладонь направляем так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, значит, сила Ампера F_А направлена вверх.

s2_t4_2 Запишем второй закон Ньютона: \vec{F}_A + m\vec{g} = m\vec{a}, где a – ускорение проводника.

Так как скорость постоянна, то a = 0 . Спроецируем второй закон Ньютона на вертикальную ось F_A - mg = 0 \Rightarrow F_A = mg, при этом сила Ампера находится по формуле: F_A = I_i B l, тогда I_i B l = mg При движении возникает ЭДС индукции, которая равна \xi_i = Bvl = I_i R, где v – скорость проводника.

Объединяя два последних уравнения \xi_i = \frac{mgR}{Bl}

Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе, так как конденсатор подключен параллельно резистору и равно ЭДС индукции. Энергия конденсатора равна: W = \frac{q U_C}{2} = \frac{q \xi_i}{2} = \frac{qmgR}{2Bl}. С учётом значений из условия: W = \frac{8 \cdot 10^{-6} Кл \cdot 40 \cdot 10^{-3} кг \cdot 10 Н/кг \cdot 5 \cdot 10^{-3} Ом}{2 \cdot 0,4 Тл \cdot 0,1 м} = 2 \cdot 10^{-7} Дж