Закон электромагнитной индукции

Задача 1

Условие

По горизонтально расположенным шероховатым рельсам с пренебрежимо малым сопротивлением могут скользить два одинаковых стержня массой 100 г и сопротивлением 0,5 Ом (рис.). Расстояние между рельсами 15 см, а коэффициент трения 0,2. Рельсы со стержнями находятся в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл. Под действием горизонтальной силы, действующей на первый стержень вдоль рельс, оба движутся поступательно равномерно с разными скоростями. Какова скорость движения первого стержня относительно второго? Самоиндукцией контура пренебречь.

s2_t1 Решение

ЭДС индукции, возникающее в контуре, при движении стержней равно |\mathscr{E}| = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{B \Delta S}{\Delta t} = Bvl, \quad (1) где \Delta \Phi – изменение потока за время \Delta t , v – скорость движения первого стержня, относительно второго, S – площадь контура.

Сопротивление контура равно: R_{общ} = R + R = 2R так как через проводники течет одинаковый ток, можно считать, что они подключены последовательно. При этом возникает сила тока равная I = \frac{|\mathscr{E}|}{2R} \quad (2) На проводники будет действовать сила Ампера F_A = BIl \sin \alpha, \alpha = 90^\circ , поэтому \sin \alpha = 1

Сила трения F_{тр} = \mu N , N = mg , это следует из проекции второго закона Ньютона на вертикальную ось, поэтому F_{тр} = \mu mg

На первый проводник действует еще и сила F .

Для второго же проводника, с учетом равномерности движения, имеем IBl = \mu mg \Rightarrow I = \frac{\mu mg}{Bl} \quad (3) Приравняем (2) и (3) с учетом (1) и выразим относительную скорость движения v = \frac{2\mu mgR}{(Bl)^2} = \frac{2 \cdot 0,2 \cdot 0,1 кг \cdot 10 Н/кг \cdot 0,5 Ом}{(2 Тл \cdot 0,15 м)^2} \approx 2 м/с Задача 2

Условие

Плоская горизонтальная фигура площадью 0,1 м ^2 ограниченная проводящим контуром, имеющим сопротивление 5 Ом, находится в однородном магнитном поле. Проекция вектора магнитной индукции на вертикальную ось Oz медленно и равномерно возрастает от некоторого начального значения B_{1z} до конечного значения B_{1z} = 4,7 Тл. За это время по контуру протекает заряд \Delta q = 0,08 Кл. Найдите B_{1z} .

Решение

ЭДС индукции: |\xi_i| = \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t}, где \Delta \Phi – изменение магнитного потока, \Delta t – время.

По закону Ома: |\xi_i| = IR = \frac{\Delta q}{\Delta t} R I – сила тока, R – сопротивление, \Delta q – заряд, протекший за время \Delta t . \frac{\Delta q}{\Delta t} R = -\frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t}.

Изменение потока равно \Delta \Phi = (B_{2z} - B_{1z})S,

Тогда \Delta q R = (|B_{2z} - B_{1z}|)S \Rightarrow |B_{2z} - B_{1z}| = \frac{q R}{S} = 4 Тл

Так как по условию B_{2z} > B_{1z} , то можно убрать модуль, тогда B_{2z} - B_{1z} = 4 Тл \Rightarrow B_{1z} = B_{2z} - 4 Тл = 0,7 Тл Задача 3

Условие

Медное кольцо, диаметр которого 20 см, а диаметр провода кольца 2 мм, расположено в однородном магнитном поле. Плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции. Определите модуль скорости изменения магнитной индукции со временем, если при этом в кольце возникает индукционный ток 10А. Удельное сопротивление меди 1,72 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м.

Решение

Модуль напряжения на кольце равен модулю самоиндукции которая равна изменению модуля магнитного потока через площадь контура, за единицу времени:

|U| = |\mathscr{E}_i| = \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|, где \Delta \Phi – изменение магнитного потока за время \Delta t .

Изменение потока равно:

\Delta \Phi = \Delta B \cdot S \cos \alpha, где \Delta B – изменение модуля магнитной индукции, S = \frac{\pi D^2}{4} – площадь витка, D – диаметр кольца, \cos \alpha = \cos 0^\circ – косинус угла между линиями магнитной индукции и нормалью к плоскости кольца.

Тогда изменение магнитной индукции

\left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| = \frac{|\mathscr{E}_i|}{S}. По закону Ома:

\mathscr{E}_i = IR, где I – сила тока, R – сопротивление кольца.

Сопротивление равно:

R = \frac{\rho l}{S_{сеч}}, где S_{сеч} = \frac{\pi d^2}{4} – площадь поперечного сечения медного провода, l = \pi D – длина кольца, d – диаметр сечения провода. Отсюда

\mathscr{E}_i = I \frac{\rho l}{S_{сеч}} Искомая величина

\left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| = \frac{16 I \rho}{\pi d^2 D} \approx 1 Тл/с.