Самоиндукция. Энергия магнитного поля катушки с током

Задача 1

Условие

В магнитном поле с магнитной индукцией B=1 Тл по рельсам равномерно едет проводящий стержень со скоростью 5 м/с. Рельсы замкнуты на катушку с индуктивностью L=2 мГн. Спустя некоторое время в контуре течет постоянный ток, энергия катушки при этом равна W=40 мкДж. Найти длину стержня l , если его сопротивление R=10 Ом. Сопротивлением рельсов и проводов можно пренебречь.

s3_2 Решение

При движении проводника в магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции \mathscr{E}_i = B v l \sin \alpha , причем \sin \alpha = 1 . Учитывая, что сопротивлением катушки можно пренебречь, в цепи будет идти ток I_i = \frac{\mathscr{E}_i}{R} .

Через некоторое время ток через катушку будет установившимся и постоянным, равным I_i . При этом магнитное поле катушки с током будет обладать энергией W = \frac{L I_i^2}{2} .

Объединяя формулы, выразим длину проводника: l = \frac{R}{B v} \sqrt{\frac{2W}{L}} = \frac{10}{1 \cdot 5} \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-5}}{2 \cdot 10^{-3}}} = 0,4 м.

Задача 2

Условие

По двум горизонтальным параллельным проводящим рельсам с пренебрежимо малым сопротивлением, замкнутым на последовательно соединённые резистор с сопротивлением R = 1 Ом и катушку с индуктивностью L = 10 мГн, скользит поступательно и равномерно проводящий стержень (см. рис.). Расстояние между рельсами l = 10 см. Рельсы со стержнем находятся в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл. При этом энергия магнитного поля катушки постоянна и равна 8 мкДж. Каков модуль скорости движения стержня? Сопротивлением стержня и катушки пренебречь. Рельсы закреплены на диэлектрической подложке.

s3_3 Решение

При равномерном поступательном движении проводящего стержня в магнитном поле вследствие явления электромагнитной индукции возникает ЭДС индукции, равное \xi=Bvl\sin\alpha , где \sin\alpha = 1 так как вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции.

Учитывая, что сопротивлением катушки можно пренебречь, а при последовательном соединении ток, текущий через резистор и катушку, одинаков, по закону Ома сила тока в цепи равна I=\frac{\xi}{R} .

Энергия магнитного поля катушки с током определяется формулой W = \frac{LI^2}{2} .

Объединяя формулы, получаем: W = \frac{LB^2 v^2 l^2}{2R^2} .

Тогда скорость движения проводника равна: v = \frac{R}{Bl} \sqrt{\frac{2W}{L}}.

При подстановке числовых значений: v = \frac{1}{1 \cdot 0,1} \sqrt{\frac{2 \cdot 8 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot 10^{-3}}} = 0,4 м/с.

Задача 3

Условие

В электрической цепи, показанной на рисунке, ЭДС источника тока равна 12 В, емкость конденсатора 2 мФ, индуктивность катушки 5 мГн, сопротивление лампы 5 Ом и сопротивление резистора 3 Ом. В начальный момент времени ключ К замкнут. Какая энергия выделится в лампе после размыкания ключа? Внутренним сопротивлением источника тока, и проводов пренебречь.

s3_4 Решение

Пока ключ замкнут, через катушку течет ток I , определяемый сопротивлением резистора из закона Ома для полной цепи I=\frac{\xi}{R_р} . Конденсатор заряжен до напряжения U_C = \xi . Энергия магнитного поля в катушке W_L=\frac{LI^2}{2} . Энергия электрического поля в конденсаторе W_C=\frac{CU_C^2}{2}=\frac{C \xi^2}{2} .

После размыкания ключа начинаются электромагнитные колебания, и вся энергия, запасенная в конденсаторе и катушке, выделится в лампе и резисторе: Q=W_C+W_L=\frac{LI^2}{2}+\frac{C \xi^2}{2}=0,184 Дж. Согласно закону Джоуля — Ленца, выделяемая в резисторе мощность пропорциональна его сопротивлению. Следовательно, энергия 0,184 Дж распределится в лампе и резисторе пропорционально их сопротивлениям, и на лампу приходится W_Л = W = 0,115 Дж.