Самоиндукция. Энергия магнитного поля катушки с током

Задача 4

Условие

В электрической цепи, показанной на рисунке, ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока соответственно равны 3 В и 0,5 Ом, емкость конденсатора 2 мФ, индуктивность катушки 2 мГн. В начальный момент времени ключ К замкнут. Какая энергия выделится в лампе после размыкания ключа? Сопротивлением катушки и проводов пренебречь.

s3_5 Решение

Пока ключ замкнут, через катушку течет постоянный ток I , определяемый сопротивлением источника: I=\frac{\xi}{r} . Поскольку активное сопротивление катушки, по условию, равно нулю, на катушке не падает напряжение, а значит, нулевое напряжение приложено и к лампочке с конденсатором. Таким образом, до размыкания ключа конденсатор разряжен. Энергия магнитного поля катушки W_L=\frac{LI^2}{2} .

После размыкания ключа начинаются электромагнитные колебания, и вся энергия, запасенная в катушке, выделится в лампе: Q=W_L=\frac{LI^2}{2}=\frac{L}{2}\left(\frac{\xi}{r}\right)^2=36 мДж.

Задача 5

Условие

В схеме, изображенной на рисунке, ключ К вначале замыкают на достаточно долгое время, пока ток в цепи не установится, а затем размыкают. Какое количество теплоты выделится после этого в резисторе R_1 ? Параметры цепи: \xi = 5 В, r = 10 Ом, R_1 = 5 Ом, R_2 = 10 Ом, L = 30 мГн. Сопротивлением катушки и проводов пренебречь.

s3_6 Решение

1. После замыкания ключа K в цепи пойдет ток, и по закону Ома для полной цепи I = \frac{\mathscr{E}}{R_{общ} + r} и согласно формуле для расчета сопротивления параллельно соединенных резисторов R_{общ} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} установившийся в ней постоянный ток I будет равен: I = \frac{\mathscr{E}}{r + \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}. При этом наличие катушки индуктивности не сказывается на величине этого тока.

2. Токи I_1 и I_2 в правой части цепи по закону сохранения заряда в сумме равны I , то есть I_1 + I_2 = I , и, поскольку падение напряжения на параллельно соединенных резисторах R_1 и R_2 одинаково, по закону Ома для участка цепи I_1 R_1 = I_2 R_2 .

3. Из написанных соотношений следует, что в установившемся режиме ток через катушку индуктивности будет равен: I_1 = \frac{I R_2}{R_1 + R_2} = \frac{\mathscr{E} R_2}{r(R_1 + R_2) + R_1 R_2}.

4. В катушке индуктивности будет запасена энергия магнитного поля, равная: W = \frac{L I_1^2}{2}.

5. После размыкания ключа К вся эта энергия по закону Джоуля — Ленца выделится в виде теплоты в последовательно соединенных резисторах R_1 и R_2 в долях, пропорциональных их сопротивлениям, так как ток в них будет одинаков. 6. Таким образом, количество теплоты, которое выделится в резисторе R_1 после размыкания ключа К, равно: Q_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} W

= \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot \frac{L I_1^2}{2}

= \frac{\mathscr{E}^2 L R_1 R_2^2}{2(R_1 + R_2)(r(R_1 + R_2) + R_1 R_2)^2}

= 0{,}3125 мДж. Задача 6

Условие

В цепи, схема которой изображена на рисунке, ключ К в некоторый момент замыкают. На сколько после этого изменится заряд q конденсатора ёмкостью C = 10 мкФ? ЭДС источника с малым внутренним сопротивлением равна 5 В, сопротивление резистора 4 Ом, сопротивление катушки индуктивности r = 1 Ом, сопротивлением проводов можно пренебречь.

s3_7 Решение

До замыкания ключа заряд на конденсаторе, согласно формуле для связи заряда и напряжения, был равен q_1 = C U_1 . Согласно закону Ома для участка цепи U_1 = I_1 R и для полной цепи I = \frac{\mathscr{E}}{R_{общ}} с пренебрежимо малых внутренним сопротивлением источника тока, а также согласно формуле для сопротивления последовательно соединенных резисторов R_{общ} = R + r , падение напряжения на резисторе R определялось током I_1 через него: U_1 = I_1 R = \frac{\mathscr{E}}{r + R} R .

Таким образом, q_1 = C \mathscr{E} \frac{R}{r + R} . После замыкания ключа ток, в силу малости сопротивления проводов, пойдет только через ключ, и заряд конденсатора, согласно тем же законам, станет равным q_2 = C U_2 = C I_2 R = C \frac{\mathscr{E}}{R} R = C \mathscr{E} .

Изменение заряда на конденсаторе, таким образом, будет равно: \begin{gathered}

\Delta q = q_2 - q_1 = C \mathscr{E} - C \mathscr{E} \frac{R}{r + R} = C \mathscr{E} \frac{r}{r + R} = \\

= 10 \cdot 10^{-6} Ф \cdot 5 В \frac{1 Ом}{1 Ом + 4 Ом} = 10^{-5} Кл = 10 мкКл.

\end{gathered}