Самоиндукция. Энергия магнитного поля катушки с током

Задача 7

Условие

В схеме, изображённой на рисунке, ЭДС источника 12 В, его внутреннее сопротивление 1 Ом, сопротивление резистора R_1 = 10 Ом, сопротивление катушки индуктивности равно R_2 = 1 Ом. Вначале ключ К замыкают в положение 1, а через длительное время переключают в положение 2. После этого в замкнутой части цепи справа от ключа выделяется количество теплоты 2 Дж. Какой поток \Phi вектора магнитной индукции существовал в катушке индуктивности перед переключением ключа в положение 2?

s3_8 Решение

При замкнутом ключе 1 в цепи устанавливается ток, который можно найти по закону Ома для полной цепи: I = \frac{\mathscr{E}}{R_1 + R_2 + r} = \frac{12 В}{10 Ом + 1 Ом + 1 Ом} = 1 А. \quad (1)

Тогда энергия магнитного поля катушки: W_L = \frac{LI^2}{2} .

После переключения ключа в положение 2 эта энергия начнет выделяться на резисторах 1 и 2, значит W_L = Q .

Магнитный поток равен: \Phi = LI .

Объединяя формулы, получим \Phi = \frac{2Q}{I} = \frac{2 \cdot 2 Дж}{1 А} = 4 Вб

Задача 8

Условие

В электрической схеме (см. рисунок) в начальный момент ключ K замкнут. После размыкания ключа в цепи выделяется количество тепла Q . Сопротивления R_1 , R_2 , R_3 и индуктивность катушки L известны. Чему равна ЭДС батареи \xi ? Какое количество тепла выделится на каждом из резисторов R_1 , R_2 , R_3 ?

s3_9 Решение

Ключ долго время был замкнут, значит, в цепи установилось равновесие и катушка заряжена.

Напряжение на катушке можно найти из возникновения ЭДС самоиндукции: U_L = |\xi_i| = \left| \frac{L \Delta I}{\Delta t} \right|, так как в установившемся режиме изменение силы тока \Delta I = 0 , то и напряжение на катушке равно нулю.

Так как резисторы R_1 и R_2 подключены параллельно к катушке, то напряжение на них и сила тока через них равны нулю. При замкнутом ключе в установившемся режиме закон Ома для полной цепи выглядит следующим образом: \mathscr{E} = I R_3, где I – сила тока в цепи.

Энергия, запасенная в катушке, равна W_L = \frac{L I^2}{2} .

По закону Джоуля-Ленца эта энергия будет выделяться в цепи после размыкания ключа, то есть Q = W = \frac{L I^2}{2}. Отсюда можно выразить силу тока в цепи в установившемся режиме I = \sqrt{\frac{2Q}{L}}.

Тогда ЭДС источника: \mathscr{E} = R_3 \sqrt{\frac{2Q}{L}}.

При размыкании ключа резистор R_3 не будет включен в цепь с катушкой, следовательно, количество теплоты, выделившееся на нём равно нулю. Резисторы R_1 и R_2 подключены параллельно, значит, напряжение на них равны. Определим количество теплоты, которое выделится на каждом из резисторов: Q_1 = \frac{U^2}{R_1}\tau \quad Q_2 = \frac{U^2}{R_2}\tau, где U – напряжение на резисторах, \tau – время.

Отсюда: Q_1 = \frac{Q_2 R_2}{R_1}. Тогда Q = Q_1 + Q_2 \Rightarrow Q = Q_2 \left(\frac{R_2}{R_1} + 1\right) . Отсюда \displaystyle Q_2 = \frac{QR_1}{R_1 + R_2} .

А количество теплоты на резисторе R_1 : Q_1 = \frac{QR_2}{R_1 + R_2}