Самоиндукция. Энергия магнитного поля

1. Явление самоиндукции

В опытах Фарадея индукционный ток возникал вследствие изменения магнитного потока в катушке, вызванного изменением индукции внешнего магнитного поля. Американский учёный Джозеф Генри в 1832 г. впервые наблюдал возникновение индукционного тока в катушке вследствие изменения тока, протекающего в самой катушке. Это явление получило название самоиндукции.

Для наблюдения явления самоиндукции можно собрать электрическую цепь с двумя одинаковыми лампами накаливания по схеме, показанной на рисунке.

l2_1 Последовательно к лампе 2 подключена катушка с ферромагнитным сердечником, содержащая большое число витков. Сопротивлением катушки по сравнению с сопротивлением лампы можно пренебречь. Замкнув ключ, мы увидим, что лампа 1 загорается полным накалом сразу, а накал лампы 2 увеличивается постепенно.

Наблюдаемое различие в поведении ламп обусловлено явлением электромагнитной индукции. Рассмотрим его поэтапно.

1) При замыкании ключа сила тока в катушке начинает увеличиваться. При этом увеличивается индукция созданного этим током магнитного поля в катушке. В результате увеличивается магнитный поток через катушку.

2) Вследствие этого увеличения магнитного потока через катушку в ней возникает ЭДС индукции, которая, согласно правилу Ленца, противодействует увеличению магнитного потока. Её называют ЭДС самоиндукции.

3) Вследствие ЭДС самоиндукции сила тока в участке цепи, содержащем катушку (и последовательно соединённую с ней лампу 2), нарастает постепенно. График зависимости силы тока в катушке от времени имеет вид, показанный на рисунке.

l2_2 Явление электромагнитной индукции, обусловленное возникновением ЭДС самоиндукции в проводящем контуре при изменении силы тока в этом контуре, называют самоиндукцией.

Пример 1

Условие

Какие лампы в цепи, схема которой изображена на рисунке, загорятся сразу после замыкания ключа, а какие будут разгораться постепенно?

l2_3 Вследствие явления самоиндукции электрические цепи, содержащие катушки (их называют часто катушками индуктивности), проявляют своеобразную инертность: в таких цепях невозможно мгновенно изменить силу тока (подобно тому, как механическая инертность проявляется в том, что невозможно мгновенно изменить скорость тела).

2. Индуктивность

Опыт и расчёты показывают, что индукция магнитного поля, созданного током в контуре, прямо пропорциональна силе тока. Отсюда следует, что магнитный поток этого поля через контур тоже пропорционален силе тока. Следовательно, можно записать: \Phi = LI , где L — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств контура (в случае катушки — от её размеров, формы, числа витков и свойств ферромагнитного сердечника). Этот коэффициент называют индуктивностью контура.

Из приведённой выше формулы и закона электромагнитной индукции следует, что ЭДС самоиндукции \xi_{si} выражается формулой \xi_{si}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t} . Единица индуктивности в СИ — генри (Гн). Она названа в честь американского физика Дж. Генри.

Если через соленоид протекает постоянный ток ( I = const ), ЭДС самоиндукции отсутствует: \xi_{si} = 0 .

Пример 2

Условие

Катушка индуктивности подключена к источнику тока с пренебрежительно малым внутренним сопротивлением через резистор R = 1 кОм (см. рис.). В момент t = 0 ключ К замыкают. Значения силы тока в цепи, измеренные в последовательные моменты времени с точностью \pm 0,01 А, представлены в таблице. Сопротивление провода катушки пренебрежительно мало.

l2_4 t, мс

0

50

100

150

200

250

300

400

500

600

700

I, мА

0

23

38

47

52

55

57

59

59

60

60

Выберите все верные утверждения о процессах, происходящих в цепи.

1. Напряжение на катушке в момент времени 300 мс равно 0.

2. Напряжение на катушке максимально в момент времени t = 0 с.

3. Напряжение на катушке не меняется с течением времени.

4. Модуль ЭДС самоиндукции в момент времени t = 200 мс равен 8 В.

5. ЭДС источника равна 60 В.

Решение

Утверждение 5 верно. При установившемся токе напряжение на резисторе равно по закону Ома: U = IR = 60 \cdot 10^{-3} \cdot 10^3 = 60 В. Внутренне сопротивление источника равно нулю по условию, следовательно \xi = 60 В.

Утверждение 1 неверно. Напряжение на резисторе в момент времени 300 мс равнялось по закону Ома: U = IR = 57 \cdot 10^{-3} \cdot 10^3 = 57 В. Тогда напряжение на катушке U_L=\xi-U=60-57=3 В.

Утверждение 2 верно. В начальный момент времени ток через резистор не течёт, следовательно, напряжение на резисторе равно нулю. Тогда напряжение на катушке равно ЭДС источника тока, то есть максимально.

Утверждение 3 неверно. Вследствие явления самоиндукции напряжение на катушке меняется.

Утверждение 4 верно. ЭДС самоиндукции можно найти, как разность ЭДС источника и напряжения на резисторе. ЭДС источника равно произведению максимальной силы тока на сопротивление резистора, то есть ЭДС самоиндукции равно \xi_{si}=\xi-IR=RI_{max}-I=60-52 \cdot 10^{-3} 10^3=8 В.

Пример 3

Условие

По графику зависимости силы тока в катушке от времени (рис.) определите, в какой момент времени модуль ЭДС самоиндукции принимает наименьшее значение. Чему он равен?

l2_5 Решение

ЭДС самоиндукции выражается формулой \xi_{si}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t} . Отношение \frac{\Delta I}{\Delta t} является производной силы тока по времени. Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. Другими словами, производная в точке показывает тангенс угла наклона касательной к графику в этой точке по отношению к оси t в нашем случае.

Следовательно модуль ЭДС самоиндукции принимает наименьшее значение в точке, в которой касательная к графику зависимости параллельна оси времени. Этому соответствует момент времени 6 с — касательная к вершине параболы параллельна оси времени. В этот момент ЭДС самоиндукции равен нулю.

Пример 4

Условие

Катушка с площадью поперечного сечения 6 см ^2 содержит 1000 витков. Когда сила тока в катушке равна 2 А, магнитная индукция поля внутри неё равна 1 мТл. Чему равна индуктивность катушки? Магнитное поле внутри катушки считайте однородным; магнитные потоки, пронизывающие витки катушки, — одинаковыми.

Решение

Индуктивность катушки можно рассчитать по формуле L=\frac{\Phi}{I} . Магнитный поток, пронизывающий катушку из N витков, равен \Phi=NBS . Тогда индуктивность катушки L=\frac{NBS}{I}=\frac{1000 \cdot 10^{-3} \cdot 6 \cdot 10^{-4}}{2}=3 \cdot 10^{-4} Гн.

3. Энергия магнитного поля контура с током

При размыкании цепи, содержащей проволочную катушку, появляется искра. Это указывает на то, что магнитное поле, созданное током в катушке, обладает энергией. Расчёты показывают, что энергия магнитного поля тока в проводящем контуре с индуктивностью L выражается формулой W_L=\frac{LI^2}{2} , где I — сила тока в контуре.

Пример 5

Условие

На рисунке изображена схема электрической цепи. ЭДС источника тока 12 В, его внутреннее сопротивление 1 Ом, электроёмкость конденсатора 2 мФ, индуктивность катушки 36 мГн, сопротивление лампы 5 Ом, сопротивление резистора 4 Ом. В начальный момент ключ замкнут. Какое количество теплоты выделится в лампе после размыкания ключа?

l2_6 Решение

После полной зарядки конденсатора ток через него не течёт. Напряжение на обкладках конденсатора равно U_C=U_L+IR_л . Сопротивлением катушки в цепи постоянного тока можно пренебречь. Поэтому U_C=IR_л .

Силу тока в цепи найдём из закона Ома для полной цепи I=\frac{\xi}{R_л+R_р+r}=\frac{12}{5+4+1}=1,2 А. Тогда напряжение на обкладках конденсатора U_C=\frac{R_л \xi}{R_л+R_р+r}=\frac{12 \cdot 5}{5+4+1}=6 В.

Энергия электрического поля заряженного конденсатора W_C=\frac{CU_C^2}{2}=\frac{2 \cdot 10^{-3} \cdot 6^2}{2}=36 мДж.

Энергия магнитного поля катушки W_L=\frac{LI^2}{2}=\frac{36 \cdot 10^{-3} \cdot 1,2^2}{2}=25,9 мДж.

После размыкания ключа в лампе выделится количество теплоты Q=W_C+W_L=36+25,9=61,9 мДж.

Пример 6

Условие

На рисунке изображена схема электрической цепи. ЭДС источника тока равна 9 В, индуктивность катушки 20 мГн, сопротивление резистора 3 Ом. В начальный момент ключ замкнут. Какое количество теплоты выделится в лампе после размыкания ключа? Внутренним сопротивлением источника тока можно пренебречь.

l2_7 Решение

При замкнутом ключе ток через лампу не течёт, т.к. диод включён в запирающем режиме. Внутренним сопротивлением источника тока можно пренебречь. Тогда сила тока в цепи из закона Ома для полной цепи равна I=\frac{\xi}{R_р}=\frac{9}{3}=3 А.

Энергия магнитного поля катушки W_L=\frac{LI^2}{2}=\frac{20 \cdot 10^{-3} \cdot 3^2}{2}=0,09 Дж.

После размыкания ключа в лампе выделится количество теплоты Q=W_L=0,09 Дж.