Сила упругости
Физика, 7 класс
Резиновый шнур жесткостью k = 100 \text{ Н/м} , сложили вчетверо. Какая жесткость стала у получившейся системы? 12 \begin{aligned} S_2 &= 4S \\ l_2 &= \frac{l}{4} \\ k_1 &= \frac{ES}{l} \\ k_2 &= \fra...
Резиновый шнур жесткостью k = 100 \text{ Н/м} , сложили вчетверо. Какая жесткость стала у получившейся системы?
12 \begin{aligned}
S_2 &= 4S \\
l_2 &= \frac{l}{4} \\
k_1 &= \frac{ES}{l} \\
k_2 &= \frac{E 4S}{\frac{l}{4}} = \frac{16ES}{l} = 16k_1
\end{aligned} Как измениться жесткость пружины, если от нее отрезать кусок, уменьшив ее длину в k раз?
\begin{aligned}
k_1 &= \frac{ES}{l} \\
k_2 &= \frac{ES}{\frac{l}{n}} = \frac{ESn}{l} = k_1 n \\
\frac{k_2}{k_1} &= \frac{k_1 n}{k_1} = n
\end{aligned} Длинную цилиндрическую пружину укоротили на \eta = 20\% . На сколько процентов изменилась жесткость пружины?
(способ 1) \begin{aligned}
k_1 &= \frac{ES}{l_0} \\
k_2 &= \frac{ES}{0,8l_0} \\
\frac{k_2 - k_1}{k_1} \cdot 100\% &= \frac{\frac{ES}{0,8l_0} - \frac{ES}{l_0}}{\frac{ES}{l_0}} = \frac{1}{0,8} - 1 = \frac{1 - 0,8}{0,8} = \frac{0,2}{0,8} = 0,25 = 25\%
\end{aligned}
Возможное решение задачи 3 (способ 2) 1) Введем понятие \varepsilon = \frac{\Delta x}{l_0} \text{ — относительное удлинение} 2) На обе пружины подействуем одной и той же силой
При деформации пружины: 1. Постоянная по всей длине сила упругости; 2. Относительное удлинение \varepsilon = \frac{\Delta x}{l} любой части пружины одинаковое.
Из (1) и (1’)
13 \begin{aligned}
F &= k_1 \Delta x_1 \quad (1) \\
\varepsilon &= \frac{\Delta x_1}{l_{01}} \quad (1') \\
F &= k_1 \cdot \varepsilon \cdot l_{01} \\
F &= k_1 \cdot \varepsilon \cdot l_0
\end{aligned} Из (2) и (2’)
14 \begin{aligned}
F &= k_2 \Delta x_2 \quad (2) \\
\varepsilon &= \frac{\Delta x_2}{l_{02}} \quad (2') \\
F &= k_2 \cdot \varepsilon \cdot l_{02} \\
F &= k_2 \cdot \varepsilon \cdot 0,8 l_0
\end{aligned} Приравниваем: \begin{aligned}
k_1 \varepsilon l_0 &= k_2 \varepsilon 0,8 l_0 \\
k_1 &= k_2 \cdot 0,8 \\
k_2 &= \frac{k_1}{0,8} \\
\frac{k_2 - k_1}{k_1} &= \frac{\frac{k_1}{0,8} - k_1}{k_1} = \frac{1}{0,8} - 1 = \frac{0,2}{0,8} = 0,25 = 25\%
\end{aligned}
Чему будет равна эквивалентная жесткость пружины, образованной из двух, имеющих жесткость k_1 и k_2 , и соединенных: а) параллельно; б) последовательно?
k = \frac{ES}{l_0} [k] = \frac{\text{Па} \cdot \text{м}^2}{\text{м}} = \frac{[F]\text{м}}{[S]} = \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{м}^2} = \frac{\text{Н}}{\text{м}}
А) соединим k_1 и k_2 параллельно. Обычно в этих случаях
15 l_1 = l_2 = l k_{\text{пар}} = \frac{E(S_1 + S_2)}{l} = \frac{ES_1}{l} + \frac{ES_2}{l} = k_1 + k_2 k_{\text{пар}} = k_1 + k_2 — общая жесткость увеличивается
Б) соединим k_1 и k_2 последовательно. Обычно в этих случаях
16 S_1 = S_2 = S k_{\text{посл}} = \frac{ES}{(l_1 + l_2)} \frac{1}{k_{\text{посл}}} = \frac{(l_1 + l_2)}{ES} = \frac{l_1}{ES} + \frac{l_2}{ES} = \frac{1}{\frac{ES}{l_1}} + \frac{1}{\frac{ES}{l_2}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \frac{1}{k_{\text{посл}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2} k_{\text{посл}} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} \text{ — только для двух пружин, соединенных последовательно} Общая жесткость уменьшается