Магнитное поле. Сила Ампера

Задача 6

Условие

«Полный оборот стержня, подвешенного на проводах - 1». Металлический стержень массой m подвешен на двух проводящих нитях длиной L каждая в однородном магнитном поле, модуль индукции которого равен B . Расстояние между нитями равно l . Вектор магнитной индукции направлен вертикально вверх. Провода через ключ соединены с конденсатором, электроёмкость которого равна C (рис. 6). После замыкания ключа стержень стал совершать колебания, поднимаясь на максимальную высоту h .

a) Чему равна скорость стержня v_{1} сразу после разрядки конденсатора?

б) Чему равно начальное напряжение U между обкладками конденсатора?

37 Решение

a) Воспользуемся законом сохранения механической энергии для стержня \frac{m v_{1}^{2}}{2}=m g h. Откуда скорость стержня v_{1} сразу после разрядки конденсатора v_{1}=\sqrt{2 g h}.

б) Воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме m v_{1}=F_{А} \Delta t, законом Ампера F_{А}=I B L, а также определением силы тока I=\frac{q}{\Delta t}. Получим m \sqrt{2 g h}=\frac{q}{\Delta t} B L \Delta t, откуда q=\frac{m \sqrt{2 g h}}{B L}. Тогда начальное напряжение U между обкладками конденсатора равно U=\frac{q}{C}=\frac{m \sqrt{2 g h}}{B L C}.

Ответ а) v_{1}=\sqrt{2 g h} . б) U=\frac{m \sqrt{2 g h}}{B L C} .

Задача 7

Условие

«Полный оборот стержня, подвешенного на проводах - 2». На рисунке 6 изображён металлический стержень, подвешенный на лёгких проводах в магнитном поле. Расстояние между проводами l , длина каждого провода L , масса стержня m , модуль магнитной индукции B . Провода через ключ соединены с заряженным конденсатором. После замыкания ключа стержень приобретает горизонтальную скорость и совершает полный оборот по окружности в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка. Чему равен минимальный начальный заряд конденсатора q_{\min } , при котором стержень сможет совершить полный оборот по окружности?

Решение

Воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме m v_{1}=F_{А} \Delta t, законом Ампера F_{А}=I B L, а также определением силы тока I=\frac{q}{\Delta t}. Получим v_{1}=\frac{q B L}{m} - скорость стержня сразу после замыкания ключа.

Чтобы стержень совершил полный оборот по окружности в вертикальной плоскости, его минимально возможную скорость в верхней точке найдём из второго закона Ньютона, учтя, что в ней сила натяжения нити становится равной нулю: m g=m a_{n} \Rightarrow g= \frac{v_{\text {min верх. }}^{2}}{L} \Rightarrow v_{\text {min верх. }}=\sqrt{g L}.

Из закона сохранения механической энергии \frac{m v_{\min \text { верх. }}^{2}}{2}+2 m g L= \frac{m v_{\min }^{2} \text { ниж. }}{2} находим выражение для минимально возможной начальной скорости стержня в нижней точке окружности: v_{\min \text { ниж. }}=\sqrt{5 g L}.

Объединяя выражения v_{1}=\frac{q B L}{m}; \quad v_{\min \text { ниж. }}=\sqrt{5 g L}, получим выражение для минимального начального заряда конденсатора, при котором стержень сможет совершить полный оборот по окружности: q_{\text {min }}=\frac{m \sqrt{5 g L}}{B L}=\frac{m}{B} \sqrt{\frac{5 g}{L}}.

Ответ q_{\text {min }}=\frac{m}{B} \sqrt{\frac{5 g}{L}} .