Движение заряженного тела в магнитном поле.

Задача 1

Условие

Ион ускоряется в электрическом поле с разностью потенциалов 10 кВ и влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно вектору его индукции B .

Радиус траектории движения иона в магнитном поле 0,2 м, отношение массы иона к его электрическому заряду 5 \cdot 10^{7} кг/Кл. Определите значение модуля индукции магнитного поля. Кинетической энергией иона при его вылете из источника пренебречь.

Решение

При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию \frac{m v^{2}}{2}=q U, где m , v и q соответственно масса, скорость и заряд иона.

В магнитном поле на ион действует сила Лоренца F_{Л}=q v B, сообщающая ему центростремительное ускорение a=\frac{v^{2}}{R}. По второму закону Ньютона: q v B=m \cdot \frac{v^{2}}{R}.

Решая систему уравнений, находим: B=\frac{1}{R} \cdot \sqrt{2 U \frac{m}{q}}=\frac{1}{0,2} \cdot \sqrt{2 \cdot 10^{4} \cdot 5 \cdot 10^{-7}}=0,5 Тл.

Ответ B=0,5 Тл.

Задача 2

Условие

В камере, из которой откачан воздух, создали электрическое поле напряжённостью \vec{E} и магнитное поле индукцией \vec{B} . Поля однородные, \vec{E} \perp \vec{B} . В камеру влетает протон p , вектор скорости которого перпендикулярен \vec{E} и \vec{B} , как показано на рисунке. Модули напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля таковы, что протон движется прямолинейно. Как изменится начальный участок траектории протона, если увеличить модуль напряжённости электрического поля, оставив его направление без изменения? Ответ поясните, указав, какие явления и закономерности вы использовали для объяснения.

Решение

Траектория протона будет криволинейной, отклоняющейся от пунктирной прямой вправо.

На протон действуют магнитное поле силой F_{м}=q v B и электрическое поле силой F_{э}=q E . Поскольку заряд протона положительный, \vec{F}_{э} сонаправлена с \vec{E} , а по правилу левой руки \vec{F}_{м} направлена противоположно силе \vec{F}_{э} .

Поскольку первоначально протон двигался прямолинейно, то согласно второму закону Ньютона по модулю эти силы были равны.

Сила действия электрического поля увеличивается при увеличении модуля напряжённости поля, а сила действия магнитного поля не меняется. Поскольку приращение \vec{F}_{э} , а также вызываемое им ускорение направлены вправо, траектория протона будет криволинейной, отклоняющейся от первоначального направления движения протона вправо.

Задача 3

Условие

Две заряженные частицы влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции и движутся по окружностям. Определите отношение масс \frac{m_{1}}{m_{2}} этих частиц, если отношение зарядов этих частиц \frac{q_{1}}{q_{2}}=2 , а отношение периодов их обращения \frac{T_{1}}{T_{2}}=0,5 .

Решение

Уравнение движения частицы в магнитном поле имеет вид: \frac{m v^{2}}{R}=q v B . Следовательно, m=\frac{R q B}{v}. Поскольку T=\frac{2 \pi R}{v} \quad \Rightarrow \quad m=\frac{q B T}{2 \pi}. Тогда \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{q_{1}}{q_{2}} \cdot \frac{T_{1}}{T_{2}}=2 \cdot 0,5=1.

Ответ \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{q_{1}}{q_{2}} \cdot \frac{T_{1}}{T_{2}}=1 .

Задача 4

Условие

В однородном магнитном поле индукцией \vec{B} , направленной вертикально вниз, равномерно вращается по окружности в горизонтальной плоскости против часовой стрелки отрицательно заряженный шарик массой m , подвешенный на нити длиной l (конический маятник). Угол отклонения нити от вертикали равен \alpha , скорость вращения шарика равна v . Найдите заряд шарика q . Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шарик.

57 Решение

На шарик действуют сила натяжения нити, сила тяжести и сила Лоренца F=q v B , направленная горизонтально вправо.

По второму закону Ньютона в проекциях на оси координат: \left\{\begin{array}{l}T \cos \alpha=m g \\ T \sin \alpha-|q| v B=m a_{n}\end{array}\right.. Нормальное ускорение a_{n}=\frac{v^{2}}{r}, а радиус окружности, по которой вращается шарик, r=l \sin \alpha .

При делении уравнений друг на друга, получаем \operatorname{tg} \alpha=\frac{m a_{n}+|q| v B}{m g}=\frac{m v^{2}+|q| v B l \sin \alpha}{m g l \sin \alpha} . Откуда модуль заряда шарика |q|=\frac{m\left(g l \sin \alpha \operatorname{tg} \alpha-v^{2}\right)}{v B l \sin \alpha}=\frac{m}{B}\left(\frac{g}{v} \operatorname{tg} \alpha-\frac{v}{l \sin \alpha}\right).