Движение заряженного тела в магнитном поле.

Задача 7

Условие

В «магнитный барьер» протяжённостью l=0,13 м поперёк линий индукции влетает по нормали \alpha -частица массой 6,7 \cdot 10^{-27} кг с электрическим зарядом 3,2 \cdot 10^{-19} Кл, ускоренная разностью потенциалов 72 кВ (см. рис.). Величина индукции однородного магнитного поля в «барьере» составляет 340 мТл. Определите, на какой угол повернётся вектор скорости частицы в результате прохождения «барьера».

60 Решение

На входе частицы в «магнитный барьер» действующая на неё сила Лоренца направлена вдоль границы барьера (правило левой руки). Это означает, что центр окружности, по которой движется частица, находится на передней границе барьера.

61 Пересечение перпендикуляров к скорости частицы на входе и выходе определит положение центра этой окружности (точка C ), т. к. скорость частицы направлена по касательной, т. е. перпендикулярно к радиусу.

Из рисунка видно, что \sin \varphi=\frac{l}{R} . Радиус окружности определим из уравнения движения:

q v B=\frac{m v^{2}}{R} \Rightarrow R=\frac{m v}{q B} . Скорость частицы определим по разности потенциалов, пройденной ею до входа в «магнитный барьер»

\begin{gathered}

q U=\frac{m v^{2}}{2} \Rightarrow v=\sqrt{\frac{2 q U}{m}} \Rightarrow R=\frac{m}{q B} \sqrt{\frac{2 q U}{m}} \Rightarrow \\

\Rightarrow \sin \varphi=B l \sqrt{\frac{q}{2 m U}} \Rightarrow \varphi=\arcsin \left(B l \sqrt{\frac{q}{2 m U}}\right)=54^{\circ} .

\end{gathered} Ответ 54^{\circ} .

Прежде, чем решить ещё одну задачу, вспомним немного теории.

Если начальная скорость заряженной частицы v перпендикулярна вектору магнитной индукции B , то в этом случае частица под действием силы Лоренца будет двигаться по окружности постоянного радиуса R .

Сила Лоренца создает только нормальное ускорение и, соответственно, направлена к центру окружности.

Если начальная скорость частицы параллельна вектору магнитной индукции, то сила Лоренца равна нулю. Частица будет продолжать двигаться в том же направлении прямолинейно и равномерно.

В общем случае можно представить себе, что частица влетает в область однородного магнитного поля со скоростью v , составляющей угол \theta с направлением магнитного поля. Эту скорость можно разложить на две составляющих, одна из которых направлена вдоль поля, а вторая перпендикулярна полю. Соответственно, движение частицы является суммой двух движений: равномерного вдоль поля и вращения по окружности. Траектория частицы, таким образом, является спиралью с радиусом R и шагом h .

62 Задача 8

Условие

Частица с массой m и зарядом q влетает со скоростью v в однородное магнитное поле с индукцией B под углом \alpha к линиям индукции. Определите шаг винтовой линии, по которой движется частица.

Решение

Во-первых, так как сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости, то частица будет двигаться с постоянной скоростью v . Во-вторых, поскольку сила Лоренца направлена перпендикулярно вектору индукции \vec{B} , то проекция скорости на ось Z , параллельную \vec{B} , будет постоянной и равной v_{\|}=v \cos \alpha .

Следовательно, движение в перпендикулярной магнитному полю плоскости происходит с постоянной скоростью v_{\perp}=v \sin \alpha по окружности. Радиус этой окружности R_{\perp} найдем из второго закона Ньютона в проекции на ось, направленную к центру окружности: q v_{\perp} B=m \frac{v_{\perp}^{2}}{R_{\perp}}; \quad R_{\perp}=\frac{m v_{\perp}}{q B} . При этом период вращения T=\frac{2 \pi R_{\perp}}{v_{\perp}}=\frac{2 \pi m}{q B} не зависит от величины и направления скорости. Таким образом, частица будет двигаться по винтовой линии (спирали) с шагом h=v_{z} T=\frac{2 \pi m v \cos \alpha}{q B} . Следует отметить, что, если частица с массой m и зарядом q влетает со скоростью v в однородное магнитное поле с индукцией B перпендикулярно линиям индукции, а кроме магнитного поля, в этой области пространства создано ещё и однородное электрическое поле, напряженность которого равна E и параллельна вектору магнитной индукции, то в этом случае вдоль оси, направленной вдоль вектора напряжённости электрического поля, частица движется равноускоренно с ускорением a=\frac{q E}{m}, а в перпендикулярной плоскости - движется по окружности радиусом R=\frac{m v}{q B} с периодом T=\frac{2 \pi m}{q B}. Траекторией частицы будет спираль постоянного радиуса с увеличивающимся шагом: h_{1}=\frac{a T^{2}}{2}=\frac{2 \pi^{2} m E}{q B^{2}}, \quad h_{2}=3 h_{1}, \quad h_{3}=5 h_{1}, \quad \ldots