Движение заряженного тела в магнитном поле.

Задача 5

Условие

Шарик с положительным зарядом q и массой m подвешен на лёгкой нити длиной L и помещён во внешнее магнитное поле с индукцией \vec{B} , направленной от наблюдателя. Какую минимальную скорость надо сообщить шарику в нижней точке траектории, чтобы он смог совершить полный оборот по окружности в вертикальной плоскости?

58 Решение

На шарик действует сила тяжести, сила натяжения нити и сила Лоренца, направленная в верхней точке траектории вертикально вниз (по правилу левой руки).

Тогда по второму закону Ньютона для верхней точки траектории получаем T+m g+F_{Л}=m a_{n}. Модуль силы Лоренца в верхней точке F_{Л}=q v_{\text {верх. }} B, модуль нормального ускорения в этой точке a_{n}=\frac{v_{\text {верх. }}^{2}}{L}.

Минимальная скорость в верхней точке будет тогда, когда сила натяжения нити в этой точке будет равна нулю. Тогда m g+q v_{\text {верх. } \min } B=m \frac{v_{\text {верх. } \min }^{2}}{L}. Откуда, решая квадратное уравнение, получаем v_{\text {верх. } \min }=\frac{q B L+\sqrt{(q B L)^{2}+4 m^{2} g L}}{2 m}.

Магнитное поле работы не совершает, т.к. сила Лоренца перпендикулярна скорости шарика. Работа силы натяжения нити также равна нулю. Поэтому механическая энергия шарика сохраняется. Закон сохранения энергии дает соотношение: \frac{m v_{\text {верх. } \min }^{2}}{2}+2 m g L=\frac{m v_{\text {Ниж. } \min }^{2}}{2} . Откуда v_{\text {ниж. } \min }=\sqrt{v_{\text {верх. } \min }^{2}}+4 m g L . Подставляя в это выражение полученную формулу для v_{\text {верх. min }} , после математических преобразований получаем: v_{\text {ниж. } \min }=\sqrt{5 m g L+\frac{q^{2} B^{2} L^{2}}{2 m^{2}}\left(1+\sqrt{1+\frac{4 m^{2} g}{q^{2} B^{2} L}}\right)} \text {. }

Задача 6

Условие

Задача: Маленький шарик массой m , подвешенный на нити длиной l , несет на себе положительный заряд q . Система помещена в электрическое поле с напряженностью E и в магнитное поле с индукцией B , линии которых горизонтальны и перпендикулярны друг другу (см. рис.). Вначале шарик удерживают в нижнем положении, а затем отпускают. Найдите силу натяжения нити в тот момент, когда нить образует с вертикалью угол \alpha .

59 Решение

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось X , направленную вдоль нити к центру окружности: T-m g \cos \alpha-q E \sin \alpha-q v B=m \frac{v^{2}}{l} . Чтобы найти скорость частицы v в рассматриваемый момент, используем теорему об изменении кинетической энергии. Так как работа силы тяжести, а также работа электрической силы не зависит от траектории, заменим дугу окружности на ломаную A D C : сила тяжести совершает работу на участке A D , а электрическая сила - на участке D C . Поскольку работа силы Лоренца равна нулю, теорема об изменении кинетической энергии примет вид \frac{m v^{2}}{2}-0=q E l \sin \alpha-m g l(1-\cos \alpha) . Решая полученные уравнения, находим силу натяжения нити: T=3 q E \sin \alpha-m g(2-3 \cos \alpha)+q v B, где v=\sqrt{\frac{2 q E l \sin \alpha}{m}-2 g l(1-\cos \alpha)} .