Сила Лоренца.

1. Модуль силы Лоренца

Действие силы Ампера на проводник с током в магнитном поле обусловлено действием магнитного поля на движущиеся свободные заряды в проводнике.

Силу, действующую на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, называют силой Лоренца \vec{F}_{\text{Л}} в честь голландского физика X. Лоренца.

Напомним, что модуль силы Ампера, действующей на проводник с током в магнитном поле, выражается формулой F_{\text{А}}=BIl \sin \alpha , где B - модуль магнитной индукции, I - сила тока в проводнике, l - длина проводника, \alpha - угол между проводником и вектором магнитной индукции.

Обозначим q заряд одной из частиц, а N - их число в данном проводнике. Тогда F_{\text{А}}=N F_{\text{Л}} .

Из двух последних формул получаем: F_{\text{Л}}=\frac{B I l \sin \alpha}{N} .

Из определения силы тока следует, что I=\frac{Q}{t} , где Q - заряд, который проходит через поперечное сечение провод- ника за промежуток времени t .

Обозначим v модуль средней скорости направленного равномерного движения свободных зарядов и возьмём в качестве t промежуток времени, за который все содержащиеся в данном проводнике свободные заряды проходят через его поперечное сечение. Тогда t=\frac{l}{v}, Q=N q , где q - модуль заряда одной из частиц.

Объединяя все написанные выражения, получаем формулу для расчёта модуля силы Лоренца F_{\text{Л}}=q v B \sin \alpha .

Сила Лоренца, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле, равна нулю, когда частица движется вдоль линий магнитной индукции. Кроме того, магнитное поле не действует на движущуюся незаряженную частицу, а также на покоящуюся заряженную частицу.

2. Направление силы Лоренца

Направление силы Лоренца для движущихся положительно заряженных частиц определяют тоже с помощью правила левой руки: если левую руку расположить так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление скорости положительно заряженной частицы, то отогнутый на 90^{\circ} в плоскости ладони большой палец покажет направление силы, действующей на эту частицу (рис. 1).

Обратите внимание: действующая на движущуюся заряженную частицу сила Лоренца перпендикулярна как скорости частицы, так и вектору магнитной индукции поля, в котором движется частица.

Сила Лоренца, действующая на движущуюся отрицательно заряженную частицу, направлена противоположно силе, которая действовала бы на положительно заряженную частицу, движущуюся в том же поле с той же скоростью.

Пример 1

Условие

На рисунках 2, а-в добавьте недостающие обозначения.

Решение

Воспользовавшись правилом левой руки, определим, что на рисунке а) сила Лоренца направлена влево; на рисунке б) вектор магнитной индукции направлен к нам; на рисунке в) частица имеет отрицательный заряд.

В случае, когда скорость частицы составляет произвольный угол с вектором магнитной индукции направление силы Лоренца, действующей в магнитном поле на движущуюся положительно заряженную частицу, также можно найти с помощью правила левой руки. При этом поступаем аналогично тому, как мы поступали, находя в подобном случае направление силы Ампера:

представляем \vec{B} в виде векторной суммы вектора \vec{B}_{\|} , направленного вдоль скорости частицы, и вектора \vec{B}_{\perp} , перпендикулярного скорости частицы;

используем правило левой руки, расположив её так, чтобы в раскрытую ладонь входил вектор \vec{B}_{\perp} , а четыре вытянутых пальца указывали направление скорости положительно заряженной частицы.

Тогда отогнутый на 90^{\circ} в плоскости ладони большой палец покажет направление силы Лоренца, действующей на движущуюся положительно заряженную частицу (рис. 3).

Сила Лоренца, действующая на движущуюся отрицательно заряженную частицу, направлена противоположно силе, которая действовала бы на положительно заряженную частицу, движущуюся в том же поле с той же скоростью.

Обратите внимание: если сила Лоренца не равна нулю, то она перпендикулярна как скорости частиць, так u вектору магнитной индукции.

Пример 2

Условие

Магнитные линии и скорость заряженной частицы (рис. 4) лежат в плоскости рисунка. Как направлена сила Лоренца, действующая на частицу?

Решение

Представим \vec{B} в виде векторной суммы вектора \vec{B}_{\|} , направленного вдоль скорости частицы, и вектора \vec{B}_{\perp} , перпендикулярного скорости частицы. Воспользуемся правилом левой руки так, чтобы в раскрытую ладонь входил вектор \vec{B}_{\perp} , а четыре вытянутых пальца указывали направление скорости положительно заряженной частицы. Тогда отогнутый на 90^{\circ} в плоскости ладони большой палец указывает на нас.

3. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Если скорость заряженной частицы \vec{v} перпендикулярна вектору магнитной индукции однородного магнитного поля \vec{B} , то частица будет равномерно двигаться по окружности: центростремительное ускорение ей будет сообщать сила Лоренца, направленная в любой момент времени перпендикулярно скорости частицы (рис. 5).

По второму закону Ньютона

F_{\text{Л}}=m a_{n}.

Сила Лоренца

F_{\text{Л}}= q v B \sin \alpha,

где \alpha=90^{\circ} , нормальное ускорение

a_{n}=\frac{v^{2}}{r}.

Тогда

q v B=m \frac{v^{2}}{r}.

Откуда радиус окружности, по которой движется частица, выражается формулой

r=\frac{m v}{q B}.

Период обращения частицы при её движении по окружности в однородном магнитном поле можно найти, используя выражение

T=\frac{2 \pi r}{v}.

Подставив в него полученную формулу для расчёта радиуса окружности, получим

T=\frac{2 \pi m}{q B}.

Обратите внимание: период обращения частицы в магнитном поле не зависит от скорости частицы!

Учтите, что ни одной из этих формул, как готовой, на экзамене пользоваться нельзя - их надо выводить!

Пример 3

Условие

Протон и электрон движутся с одинаковыми по модулю скоростями по окружностям в одном и том же однородном магнитном поле. Вектор магнитной индукции направлен вверх.

a) В какой плоскости движутся частицы - в горизонтальной или в вертикальной?

б) В каком направлении - по часовой стрелке или против неё (если смотреть сверху) движется по окружности: протон; электрон?

в) Какая частица движется по окружности меньшего радиуса?

г) Чему равно отношение радиусов окружностей, по которым движутся частицы?

д) Период обращения какой частицы больше? Во сколько раз?

Решение

а) Сила Лоренца, действующая на заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, перпендикулярна линиям магнитной индукции и скорости частиц. Поэтому и протон, и электрон движутся в горизонтальной плоскости (вектор \vec{B} по условию направлен вертикально вверх.

б) Сила Лоренца сообщает обеим частицам центростремительное ускорение и направлена к центру окружности. При этом заряд протона положительный, а электрона отрицательный. По правилу левой руки по часовой стрелке (если смотреть сверху) движется по окружности протон, а против часовой стрелки - электрон.

в) По второму закону Ньютона

F_{\text{Л}}=m a_{n}.

Сила Лоренца

F_{\text{Л}}= q v B \sin \alpha ,

где \alpha=90^{\circ} , нормальное ускорение

a_{n}=\frac{v^{2}}{r}.

Тогда

q v B=m \frac{v^{2}}{r}.

Откуда радиус окружности, по которой движется частица, выражается формулой

r=\frac{m v}{q B}.

Учитывая, что модули зарядов протона и электрона одинаковы и равны 1,6 \cdot 10^{-19} Кл, а масса протона больше массы электрона, то по окружности меньшего радиуса движется электрон.

г) Отношение радиусов окружностей, по которым движутся частицы, равно

\frac{r_{p}}{r_{e}}=\frac{m_{p}}{m_{e}}=\frac{1,67 \cdot 10^{-27}}{9,1 \cdot 10^{-31}}=1,8 \cdot 10^{3}.

д) Период обращения частицы при её движении по окружности в однородном магнитном поле можно найти, используя выражение

T=\frac{2 \pi r}{v}.

Подставив в него полученную формулу для расчёта радиуса окружности, получим

T=\frac{2 \pi m}{q B}.

Значит период обращения протона больше в 1,8 \cdot 10^{3} раз.

Пример 4

Условие

Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 4 кВ, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 40 мТл перпендикулярно линиям магнитной индукции. Чему равен радиус окружности, по которой будет двигаться электрон?

Решение

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии

\frac{m v^{2}}{2}=q U,

и найдём скорость электрона при его вхождении в магнитное поле

v=\sqrt{\frac{2 q U}{m}}.

По второму закону Ньютона

F_{\text{Л}}=m a_{n}.

Сила Лоренца

F_{\text{Л}}= q v B \sin \alpha,

где \alpha=90^{\circ} , нормальное ускорение

a_{n}=\frac{v^{2}}{r}.

Тогда

q v B=m \frac{v^{2}}{r}.

Откуда радиус окружности, по которой движется частица, выражается формулой

r=\frac{m v}{q B}.

Подставив в полученную формулу выражение для скорости, получим

r=\frac{m}{q B} \sqrt{\frac{2 q U}{m}}=\frac{1}{B} \sqrt{\frac{2 m U}{q}}=\frac{1}{0,04} \sqrt{\frac{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 4000}{1,6 \cdot 10^{-19}}}=5,33 \text{ мм}.