Сила Лоренца.

4. «Фильтр скоростей»

Силы, действующие на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного и электрического полей, могут взаимно уравновесить друг друга: тогда частица будет двигаться

прямолинейно и равномерно. Это используется в приборе, который называют «фильтром скоростей».

Рассмотрим эту ключевую ситуацию. Пусть положительно заряженная частица влетает в «фильтр скоростей» через отверстие 1, движется прямолинейно и равномерно и вылетает через отверстие 2 (рис. 6). Линии напряжённости однородного электрического поля и магнитные линии однородного магнитного поля показаны на рисунке.

На положительно заряженную частицу со стороны электрического поля действует сила

F_{\text {эл. }}=q E,

направлена вниз (сонаправлена с вектором напряжённости электрического поля). Со стороны магнитного поля на движущуюся в приборе положительно заряженную частицу действует сила Лоренца

F_{\text{Л}}=q v B,

направлена вверх (по правилу левой руки).

Так как частица в приборе движется прямолинейно и равномерно, то по второму закону Ньютона модули этих сил равны:

F_{\text {эл. }}=F_{\text{Л}}.

Следовательно скорость частицы

v=\frac{E}{B}

определяется только модулями напряжённости электрического поля и магнитной индукции магнитного поля.

Подбирая значения этих параметров, на выходе из прибора можно отбирать только заряженные частицы с заданной скоростью. Поэтому такой прибор называют «фильтром скоростей».

Пример 5

Условие

Вектор магнитной индукции однородного магнитного поля перпендикулярен вектору напряжённости однородного электрического поля. Модуль магнитной индукции равен 2 Тл, а напряжённость электрического поля равна 5 \cdot 10^{6} В/м. В некоторый момент скорость электрона направлена вдоль вектора напряжённости электрического поля и равна 1,9 \cdot 10^{6} м/с. Чему равен модуль равнодействующей сил, действующих на электрон со стороны магнитного и электрического полей?

Решение

На электрон со стороны электрического поля действует сила, модуль которой равен F_{\text {эл. }}=|e| E , а её направление противоположно вектору напряжённости электрического поля, т.к. заряд электрона отрицательный.

Со стороны магнитного поля на электрон действует сила Лоренца, модуль которой равен F_{\text{Л}}=|e| v B , а направлена эта сила перпендикулярно скорости, т.е. перпендикулярно \vec{F}_{\text {эл. }} .

Модуль равнодействующей сил, действующих на электрон со стороны магнитного и электрического полей, можно найти по теореме Пифагора:

F=\sqrt{(|e| E)^{2}+(|e| v B)^{2}}=|e| \sqrt{E^{2}+(v B)^{2}}=1,6 \cdot 10^{-19} \sqrt{\left(5 \cdot 10^{6}\right)^{2}+\left(1,9 \cdot 10^{6} \cdot 2\right)^{2}}=10^{-12} \text{ Н}.

Пример 6

Условие

Пучок протонов влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Протоны движутся по дуге окружности радиусом 0,1 м и поглощаются металлической пластиной. Какое количество теплоты выделяется при этом за 1 c, если индукция магнитного поля равна 0,2 Тл, а сила тока в пучке 0,2 мА?

Решение

Количество теплоты равно суммарной кинетической энергии всех протонов в пучке: Q=N E_{k} .

По определению силы тока

I=\frac{q_{\text {общ }}}{t}=\frac{N q}{t},

откуда число протонов в пучке

N=\frac{I t}{q}.

По второму закону Ньютона

F_{\text{Л}}=m a_{n}.

Сила Лоренца

F_{\text{Л}}= q v B \sin \alpha,

где \alpha=90^{\circ} , нормальное ускорение

a_{n}=\frac{v^{2}}{r}.

Тогда

q v B=m \frac{v^{2}}{r}.

Откуда скорость протона выражается формулой

v=\frac{q B r}{m},

а его кинетическая энергия

E_{k}=\frac{m v^{2}}{2}=\frac{m}{2}\left(\frac{q B r}{m}\right)^{2}=\frac{(q B r)^{2}}{2 m}.

Тогда количество теплоты

Q=\frac{I t}{q} \cdot \frac{(q B r)^{2}}{2 m}=\frac{I t q(B r)^{2}}{2 m}= \frac{2 \cdot 10^{-4} \cdot 1 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}(0,2 \cdot 0,1)^{2}}{2 \cdot 1,67 \cdot 10^{-27}}=3,83 \text{ Дж}.