От волн к квантам: Лекция 5

Пример 4

Условие

Квантовая частица массы m , которая может двигаться только вдоль оси x , находится в состоянии с определенной энергией E=2 U_{0} и налетает на потенциальный барьер высотой U_{0} с «бесконечной» шириной. Найти вероятность R того, что частица отразится от этого барьера.

Решение

Сразу отметим для себя, что в классической механике частицы всегда проходят такой барьер, и приступим к решению квантовой задачи на базе стационарного уравнения Шредингера. Введем координату x таким образом, что частица налетает на барьер «слева» ( p_{x} >0 ), а барьер находится в точке x=0 . Тогда в областях I ( x<0 ) и II ( x>0 ) частица имеет определенный модуль импульса \left|p_{x I}\right|=\sqrt{2 m E}=2 \sqrt{m U_{0}}, и \left|p_{x I I}\right|=\sqrt{2 m\left(E-U_{0}\right)}=\sqrt{2 m U_{0}}. Волна вероятности может отражаться от каждой из границ ямы, так что в области I она должна состоять из «падающей» и «отраженной волн»: \varphi_{I}(x)=A \cdot e^{+\frac{i}{\hbar} k x}+B \cdot e^{-\frac{i}{\hbar} k x}, где k=\frac{2 \sqrt{m U_{0}}}{\hbar} , а в области II - только из прошедшей волны (нет волны вероятности, падающей на барьер «справа»): \varphi_{I I}(x)=C \cdot e^{+\frac{i}{\hbar} \tilde{k} x} , причем \tilde{k}=\frac{\sqrt{2 m U_{0}}}{\hbar}=\frac{k}{\sqrt{2}} . В случае конечной энергии взаимодействия естественно требовать, чтобы график волновой функции был непрерывным и гладким, то есть \left\{\begin{array}{l}

\varphi_{I}(0)=\varphi_{I I}(0) \\

\varphi_{I}^{\prime}(0)=\varphi_{I I}^{\prime}(0)

\end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l}

A+B=C \\

i k(A-B)=i \tilde{k} C

\end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l}

A+B=C \\

A-B=\frac{1}{\sqrt{2}} C

\end{array}\right. . Складывая эти уравнения, находим, что C=\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} A и B=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} A . Модули импульсов в падающей и отраженной волне равны, так что отношение плотностей потока вероятности (а это и есть вероятность отражения) в этих волнах равна квадрату модуля отношения амплитуд, и R=\left|\frac{B}{A}\right|^{2}=\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)^{2}=\frac{3-2 \sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}}=17-12 \sqrt{2} \approx 0,0284. Или чуть меньше 3\% Это не много, но все же совсем не ноль. Здесь мы сталкиваемся с квантовым эффектом «надбарьерного отражения».

Ответ R=0,0284.