От волн к квантам: Лекция 5

Пример 2

Условие

Колебания некоторой величины складываются из двух когерентных колебаний: x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) , где x_{1}(t)=\frac{a}{\sqrt{3}} \cos \left(\omega t+\frac{\pi}{3}\right) и x_{2}(t)=a \cdot \sin (\omega t) . Найти амплитуду и начальную фазу суммарного колебания.

Решение

Если записать каждый закон как вещественную часть от комплексной экспоненты, то есть x_{1}(t)=Re\left[\frac{a}{\sqrt{3}} e^{i \frac{\pi}{3}} \cdot e^{i \omega t}\right] \equiv Re\left[z_{1}(t)\right] , и x_{2}(t)=Re\left[a \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}} \cdot e^{i \omega t}\right] \equiv Re\left[z_{2}(t)\right], то в комплексной форме можно просто сложить множители при e^{i \omega t} : z(t)=z_{1}(t)+z_{2}(t)=\left[\frac{a}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)-i a\right] \cdot e^{i \omega t}=\frac{a}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot e^{i \omega t}=\frac{a}{\sqrt{3}} \cdot e^{-i \frac{\pi}{3}} \cdot e^{i \omega t} . Значит, x(t)=Re[z(t)]=\frac{a}{\sqrt{3}} \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{3}\right) . Точно также в комплексной форме можно записывать и решения волновых уравнений.

Ответ x(t)=Re[z(t)]=\frac{a}{\sqrt{3}} \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{3}\right) .

Теперь мы готовы повторить рассуждения Шредингера о волнах вероятности. Для простоты начнем с одномерного случая. Мы понимаем, что у свободной квантовой частицы существуют состояния с определенной энергией E и импульсом p_{x} . Этому состоянию отвечает плоская волна вероятности \psi(t, x)=A \cdot e^{\frac{i}{\hbar}( \pm k x-\omega t)}, причем E=\hbar \omega и p_{x}=\hbar k . Для нерелятивистской частицы с массой m энергия и импульс связаны соотношением E=\frac{p_{x}^{2}}{2 m} . Нетрудно заметить, что дифференцирование \psi(t, x) по времени превращает ее в саму себя, умноженную на коэффициент, пропорциональный энергии: \frac{\partial \psi(t, x)}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar} E \cdot \psi(t, x) \Rightarrow i \hbar \frac{\partial \psi(t, x)}{\partial t}=E \cdot \psi(t, x) . Аналогично -i \hbar \frac{\partial \psi(t, x)}{\partial x}=p_{x} \cdot \psi(t, x). Следовательно, в случае свободной частицы уравнение i \hbar \frac{\partial \psi(t, x)}{\partial t}=\frac{1}{2 m}\left[-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right]^{2} \psi(t, x)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi(t, x)}{\partial x^{2}}, имеет в точности нужное решение. Опять, вспоминая о корпускулярных свойствах микрообъекта и учитывая соотношение из механики E=\frac{p_{x}^{2}}{2 m}+U(x) , мы можем прийти к идее, что для квантовой частицы в поле внешних потенциальных сил U(x) волна вероятности должна быть решением уравнения Шредингера i \hbar \frac{\partial \psi(t, x)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi(t, x)}{\partial x^{2}}+U(x) \cdot \psi(t, x) . Функцию \psi(t, x) обычно называют координатной волновой функцией данного состояния частицы. Ее основное свойство - то, что она определяет вероятность нахождения частицы в заданной области значений координаты: w\left[x_{1} \leq x \leq x_{2}\right]=\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}|\psi(t, x)|^{2}.