От волн к квантам: Лекция 5

Пример 1

Условие

В рамках квантовой теории света качественно объясните дифракцию света на щели и оцените дифракционное уширение светового пучка за щелью.

Решение

Пусть щель в плоской ширме ориентирована вдоль оси y , имеет ширину (в направлении оси x ), равную d , и на ширму падает монохроматический пучок света с длиной волны \lambda , движущейся вдоль оси z . Это означает, что проекция p_{x} импульса фотонов пучка практически равна нулю (ее неопределенность намного меньше точности наших приборов, которыми мы могли бы ее измерить). Соотношение неопределенностей указывает нам, что неопределенность измерения координаты x этих фотонов должна быть очень большой, то есть ширина пучка в направлении оси x очень велика и намного больше d . После прохождения ширмы неопределенность значения резко уменьшается - теперь она не превышает d / 2 . Значит, неопределенность p_{x} резко возрастет - теперь \Delta p_{x} \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \geq \frac{\hbar}{d} . Локализация по оси z не изменилась, так что среднее значение величины p_{z} не поменялось, и ее неопределенность осталась малой. Полагая для оценки, что при «макроскопической» ширине щели \Delta p_{x} \ll p_{z} и наблюдаемое отклонение по порядку величины близко к минимальному допустимому, получаем, что, с учетом формулы де Бройля p_{z}=\frac{2 \pi \hbar}{\lambda} , угол отклонения направления импульса фотона от оси z - величина порядка \alpha \approx \frac{\Delta p_{x}}{p_{z}} \approx \frac{\lambda}{2 \pi d}, и тогда уширение пучка после прохождения ширмы \Delta \varphi \approx 2 \alpha \approx \frac{\lambda}{\pi d} . По порядку величины этот результат соответствует полученному в рамках волновой теории.

Ответ Дифракция есть следствие того, что при ограничении волнового фронта уменьшается неопределенность значения координаты фотонов и увеличивается неопределенность соответствующей компоненты импульса, дифракционное уширение пучка после прохождения щели \Delta \varphi \approx \frac{\lambda}{\pi d} .

Уnpaжнение 1: При поглощении фотона атом переходит в возбужденное состояние, которое является нестабильным - через некоторое время (среднюю величину которого называют «временем жизни»возбужденного состояния) атом испускает фотон, возвращаясь в исходное («основное») состояние. Известно, что из-за квантовых флуктуаций разброс значений энергии вылетающих при возвращении атома из некоторого возбужденного состояния фотонов равен \Delta E \approx 13,2 мкэВ (микроэлектронвольт). Оцените время жизни этого возбужденного состояния. Ответ укажите в пикосекундах.

Ответ: 50 пс.

image.png Чем отличается интерференция волн вероятности от интерференции классических волн? Вспомним один из самых известных интерференционных опытов - опыт Юнга. Свет от «точечного» источника (булавочного прокола в плотной бумаге) направлялся на ширму с двумя такими же маленькими отверстиями. За ширмой располагался экран (см. рисунок). Согласно волновой теории, когерентность источников (двух проколов в ширме; их когерентность обеспечена тем, что они получают свет от одного и того же источника) приведет к тому, что в области перекрытия пятен будет наблюдаться интерференция - чередование темных и светлых областей, в которых волны ослабляют и усиливают друг друга. Отметим, что в физике микромира такую же картину мы должны получить и для пучков микрочастиц (например, нейтронов, или электронов - если, конечно, в последнем случае пучок будет достаточно разреженным, чтобы мы могли пренебречь взаимным отталкиванием электронов как одноименно заряженных частиц). Перейдем к квантовой теории и рассмотрим постановку опыта, при которой через первое отверстие кванты света (фотоны) проходят по одному. Чтобы сохранять и суммировать действия этих фотонов, заменим экран на фотопластинку. Будет ли наблюдаться интерференция? Ведь для этого «неделимому» кванту нужно разделиться, чтобы пройти через два отверстия в ширме! Опыт показывает, что интерференция все равно наблюдается, но вот что интересно - можно так подобрать параметры установки, что каждый фотон будет взаимодействовать только с одним атомом покрытия фотопластинки, то есть он будет оставлять одну точку на фотопластинке, и только после отправки большого числа фотонов эти точки образуют интерференционную картину из темных и светлых областей. Ведь волновые законы в квантовой теории определяют вероятность попадания фотона в заданную точку экрана, и при большом количестве «попыток» доля фотонов, попавших в окрестность этой точки, пропорциональна этой вероятности.

Можно посылать фотоны так, чтобы следующий отправлялся в путь только после того, как предыдущий свою точку на фотопластинке уже оставил, можно провести аналогичный опыт с электронами - мы будем видеть интерференционную картину. Но если мы захотим установить, через какое отверстие проходит микрочастица (фотон или электрон), и изменим постановку опыта так, чтобы фиксировать прохождение частицы через определенное отверстие в ширме, то интерференция исчезнет! Важно понять, как это объясняется. Если оба отверстия лежат в пределах дифракционного конуса от источника, то это означает, что неопределенность координаты микрочастицы больше расстояния между отверстиями и у нее есть ненулевая вероятность пройти как через первое, так и через второе отверстие. Значит, если мы не фиксируем, через какое отверстие проходит микрочастица, то волна вероятности за ширмой есть наложение волн, идущих к фотопластинке от каждого из отверстий, они когерентны, и происходит интерференция этих волн вероятности, что и проявляется в картине, складывающейся из отдельных точек на фотопластинке. Если мы фиксируем, через какое отверстия прошла микрочастица, то для этого нам потребуется взаимодействие микрочастицы с каким-то нашим прибором, которое локализует частицу в пределах одного отверстия. Тогда вероятность пройти через другое отверстие практически равна нулю (расстояние между отверстиями намного больше их диаметров), и волна вероятности за ширмой идет только от одного отверстия, интерференции нет, и каждое отверстие дает независомо свою картинку на фотопластинке - они просто накладываются.

Можно для «волны вероятности» записать волновое уравнение? Это было сделано Эрвином Шредингером. Чтобы разобраться в том, как его построить и как потом использовать, нам потребуется существенно расширить математический кругозор по сравнению с тем, что мы до сих пор использовали. Поэтому следующий фрагмент данной лекции - повышенного уровня сложности. В первую очередь нам нужно познакомиться с комплексными числами.

Если задаться целью научиться извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, можно определить мнимую единицу i \equiv \sqrt{-1} , а вслед за ней - множество комплексных чисел z= x+i y . В этой записи x и y - два вещественных числа, называемых вещественной и мнимой частью комплексного числа z : x=Re(z) , y=Im(z) . Комплексные числа можно перемножать и делить друг на друга, получая снова комплексные числа. Эти операции определяются следующими формулами: \begin{gathered}

z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}+i y_{2}\right)=\left(x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}\right)+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right) \\ \\

\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}{\left(x_{2}+i y_{2}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i \frac{x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}

\end{gathered}

Вообще, с комплексными числами можно проводить любые алгебраические операции. Можно определить на множестве комплексных чисел многие известные Вам функции. Например, для экспоненты справедлива формула Эйлера: e^{z}=e^{x} \cdot e^{i y}=e^{x} \cdot[\cos (y)+i \cdot \sin (y)] .

Комплексное число z^{*} \equiv x-i y называют сопряженным к числу z . Вещественная неотрицательная величина |z| \equiv \sqrt{z \cdot z^{*}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} называется модулем комплексного числа. С помощью определения фазы \varphi комплексного числа \cos (\varphi) \equiv \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \quad \sin (\varphi) \equiv \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} , можно ввести запись комплексного числа, представленного в экспоненциальной форме z=|z| \cdot e^{i \varphi} .

В теории функций от комплексных чисел определение корня квадратного обычно строят на основании экспоненциальной формы записи комплексных чисел: \sqrt{z}=\sqrt{|z| \cdot e^{i \varphi}}=\sqrt{|z|} \cdot e^{i \varphi / 2}=\sqrt{|z|}\left[\cos \left(\frac{\varphi}{2}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{\varphi}{2}\right)\right] . \qquad (I) Но если расширить значения фазы комплексного числа за пределы интервала [ 0, \, 2 \pi ), сохранив формулу Эйлера, то, поскольку e^{i(\varphi+2 \pi)}=e^{i \varphi} , а e^{i \pi}=-1 , можно получить и второе значение корня: \sqrt{z}=\sqrt{|z| \cdot e^{i(\varphi+2 \pi)}}=e^{i \pi} \sqrt{|z| \cdot e^{i \varphi}}=-\sqrt{|z|}\left[\cos \left(\frac{\varphi}{2}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{\varphi}{2}\right)\right] . Традиционно (I) называют главным значением квадратного корня.

Экспоненциальная форма записи комплексного числа указывает нам на интересную возможность использования комплексных чисел в теории колебаний и теории волн. Обе гармонические функции - синус и косинус - могут быть получены из комплексной экспоненты, и с этой точки зрения они отличаются только начальной фазой. Если уравнение линейны, то комплексная экспонента является решением любого уравнения, решениями которого являются косинус и синус. Но при этом перемножение комплексных экспонент производится очень легко и снова дает комплексную экспоненту, а перемножение синусов и косинусов приводится к записи через синусы и косинусы более сложным образом. В результате оказывается, что во многих случаях использовать комплексные экспоненты удобнее, чем тригонометрические функции.