От волн к квантам: Лекция 5

Это свойство можно выразить чуть иначе: квадрат модуля координатной волновой функции определяет плотность вероятности реализации разных значений координаты в состоянии, которому эта функция соответствует. Вместе с плотностью вероятности можно определить и плотность потока вероятности. В общем случае она равна j_{x}=\frac{i \hbar}{2 m}\left[\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}-\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x}\right] . В более простом случае, когда модуль импульса постоянен, то плотность потока вероятности есть произведение плотности на скорость: j_{x}=\frac{p_{x}}{m}|\psi|^{2}.

Отметим, что для состояний с определенной энергией E (cтaционарных cocтoяний) решение уравнения Шредингера имеет вид \psi(t, x)=\phi(x) \cdot e^{-\frac{i}{\hbar} E t} , (зависимость волновой функции стационарных состояний от времени всегда экспоненциальная), причем функция координаты \phi(x) в этом случае удовлетворяет уравнению E \cdot \varphi(x)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \varphi(x)}{d x^{2}}+U(x) \cdot \varphi(x) \Rightarrow \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}[E-U(x)] \cdot \varphi=0, которое называют стационарным уравнением Шредингера.

В более сложном трехмерном случае в уравнении нужно использовать частные производные: \begin{gathered}

i \hbar \frac{\partial \psi(t, x, y, z)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left[\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial z^{2}}\right]+U(\vec{r}) \cdot \psi(t, x, y, z) \\

\text { и } \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi}{\partial z^{2}}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}[E-U(\vec{r})] \cdot \phi=0 \text { в стационарном случае. }

\end{gathered}

В случае стационарных состояний локализованной частицы (то есть удерживаемой в области конечного размера) при одномерном движении волновые функции оказываются вещественны, и анализ этих состояний можно производить без использовании комплексных чисел (если, конечно знать уравнение Шредингера для волновых функций).

Пример 3

Условие

Квантовая частица массы m , помещена между двумя непроницаемыми стенками, расположенными на расстоянии L друг от друга, и может свободно двигаться только вдоль оси x , направленной перпендикулярно стенкам. Найдите возможные значения энергии частицы. Учтите, что состояние такой частицы с определенным значением энергии E описывается волновой функцией \varphi(x) , удовлетворяющей уравнению Шредингера \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}[E-U(x)] \cdot \varphi=0.

Решение

Так как стенки непроницаемы, то частица не может оказаться нигде, кроме как между ними. Если ввести координату частицы так, что начало отсчета совпадает с «левой» стенки, то вероятность обнаружения частицы (а значит, и ее волновая функция) отличны от нуля только при 0<x<L . Между стенками частица движется свободно (на нее не действуют никакие силы), так что ее потенциальная энергия моет считаться равной нулю, и уравнение Шредингера имеет вид \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+\frac{2 m E}{\hbar^{2}} \cdot \varphi=0. При E>0 можно ввести положительную величину k=\frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar} , и тогда это уравнение по форме совпадает с уравнением гармонического осциллятора \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+k^{2} \cdot \varphi=0, то есть любое его решение можно записать в виде \varphi(x)=A \cdot \cos (k x)+B \cdot \sin (k x) . Мы знаем граничные условия, которым эта функция должна удовлетворять из-за непроницаемости стенок: \varphi(0)=\varphi(L)=0 . Первое условие дает A=0 , а второе B \cdot \sin (k L)=0 . Мы не можем приравнять к нулю B (иначе вся функция обнулится, и получится, что частицы нигде нет), поэтом мы должны потребовать k L=\pi \cdot n \Rightarrow k=\frac{\pi}{L} n \Rightarrow E=E_{n}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m L^{2}} n^{2}, \quad n=1,2,3 \ldots Мы обнаружили очень важную вещь, которая относится не только к рассматриваемому примеру: если квантовая частица локализована и находится в стационарном состоянии, то ее энергия принимает только значения из некоторого дискретного набора (физики говорят, что у локализованной квантовой частицы дискретный энергетический спектр). Мы ответили на вопрос задачи, но мы еще не построили волновые функции состояний нашей частицы с определенными энергиями. Для этого нужно вспомнить о смысле волновой функции: квадрат ее модуля \rho(x)=|\varphi(x)|^{2}=B^{2} \cdot \sin ^{2}\left(\frac{\pi n x}{L}\right) - это плотность вероятности нахождения частицы в точках с разными значениями координаты. По смыслу задачи наша частица точно (с вероятностью 1) находится между стенками, то есть 1=\int\limits_{0}^{L} \rho(x) d x=B^{2} \cdot \int\limits_{0}^{L} \sin ^{2}\left(\frac{\pi n x}{L}\right) d x=B^{2} \cdot \frac{L}{2} \quad \Rightarrow \quad B=\sqrt{\frac{2}{L}} .

Итак, стационарное состояние частицы, которой разрешено только свободное движение вдоль одной оси между непроницаемыми стенками, отвечает энергии E_{n}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m L^{2}} n^{2} и описывается волновой функцией \varphi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \cdot \sin \left(\frac{\pi n x}{L}\right), где n=1,2,3 \ldots . Стационарное состояние локализованной частицы с наинизшей возможной энергией называют основным. Как мы выяснили, энергия основного состояния нашей частицы - это E_{1}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m L^{2}} .