Электростатика.

Задача 4

Условие

Маленький шарик массой m с зарядом q=5 нКл, подвешенный к потолку на легкой шелковой нитке длиной l=0,8 м, находится в горизонтальном однородном электростатическом поле \vec{E} с модулем напряженности поля E=6 \cdot 10^{5} \text{ В} / \text{м} (см. рис.). Шарик отпускают с нулевой начальной скоростью из положения, в котором нить вертикальна. В момент, когда нить образует с вертикалью угол \alpha=30^{\circ} , модуль скорости шарика v=0,9 м/с. Чему равна масса шарика m ? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. На шарик действуют вертикальная сила тяжести m \vec{g} , горизонтальная сила со стороны электрического поля \vec{F}_{\text{э}}=q \vec{E} и вдоль нити сила ее натяжения \vec{T} (см. рис.).

По теореме об изменении кинетической энергии материальной точки в ИСО,

\Delta E_{\text {кин }}=A_{\text {всех сил}}

Работа силы \vec{T} равна нулю, так как эта сила в любой момент времени перпендикулярна скорости шарика.

Силы m \vec{g} и q \vec{E} потенциальны, поэтому их работа при переходе из начальной точки в конечную не зависит от выбора траектории.

Выберем траекторию перехода в виде двух последовательных шагов: сначала из исходного положения вверх на расстояние h , затем по горизонтали на расстояние b в конечное положение. Работа силы тяжести равна A_{\text {тяж }}=-m g h , работа однородного электрического поля по перемещению заряда A_{\text{э}}=E q b . На этой траектории сумма работ силы тяжести и силы со стороны электрического поля:

A=-m g h+q E b,

где h=l(1-\cos \alpha) , b=l \sin \alpha .

В результате получаем:

\Delta E_{\text {кин }}=\frac{m v^{2}}{2}-0=A_{\text {всех сил }}=-m g l(1-\cos \alpha)+q E l \sin \alpha .

Откуда:

m=\frac{2 q E l \sin \alpha}{v^{2}+2 g l(1-\cos \alpha)}=\frac{2 \cdot 5 \cdot 10^{-9} \text { Кл} \cdot 6 \cdot 10^{5} \text{ В/м} \cdot 0,8 \text{ м} \cdot 0,5}{0,81 \text{ м}^{2} / \text{с}^{2}+2 \cdot 10 \text{ м/с}^{2} \cdot 0,8 \text{ м}\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \approx 8,1 \cdot 10^{-4} \text{ кг}.

Задача 5

Условие

Конденсатор емкостью C=10 нФ подсоединили к источнику напряжения U=10 \text{ В} . Спустя длительное время конденсатор отсоединили от источника и увеличили расстояние между пластинами конденсатора на 20 \% . Найдите изменение энергии на конденсаторе.

Решение

1. Запишем выражения для емкости конденсатора до и после произведенных манипуляций:

C_{1}=\frac{\varepsilon \varepsilon_{0} S}{d_{1}} ; \quad C_{2}=\frac{\varepsilon \varepsilon_{0} S}{d_{2}}=\frac{\varepsilon \varepsilon_{0} S}{1,2 d_{1}}=\frac{C_{1}}{1,2} .

По закону сохранения заряда q_{1}=q_{2} , следовательно, C_{1} U_{1}=C_{2} U_{2} , C_{1} U_{1}=\frac{C_{1} U_{2}}{1,2} , откуда U_{2}=1,2 U_{1} . Тогда изменение энергии на конденсаторе:

\begin{gathered}

\Delta W_{c}=W_{c 2}-W_{c 1}=\frac{C_{2} U_{2}^{2}}{2}-\frac{C_{1} U_{1}^{2}}{2} \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad \Delta W_{c}=\frac{1,44 \cdot C_{1} U_{1}^{2}}{1,2 \cdot 2}-\frac{C_{1} U_{1}^{2}}{2}=\frac{C_{1} U_{1}^{2}}{2}\left(\frac{1,44}{1,2}-1\right)= \\

=\frac{10^{-8} \cdot 10^{2}}{2}\left(\frac{1,44}{1,2}-1\right)=10^{-7} \text { Дж }=100 \text { нДж. }

\end{gathered}

Задача 6

Условие

Точечный заряд q , помещенный в начало координат, создает в точке A электростатическое поле напряженностью E_{1}=52 \text{ В} / \text{м} . Какова напряженность поля E_{2} в точке C ?

Решение

Найдем расстояние от точечного заряда до точек A и C :

R_{1}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5} ; \quad R_{2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} .

Напряженность поля, созданного точечным зарядом, определяется по формуле

E=k \frac{q}{R^{2}}.

Тогда можем составить пропорцию:

\frac{E_{1}}{E_{2}}=\frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}},

откуда находим:

E_{2}=\frac{E_{1} R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}=\frac{52 \cdot 5}{13}=20 \text{ В} / \text{м}.