Трапеции. Часть 2.: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 2.49

МГУ, химический ф-т, 2004 (июль), № 4.

Известно, что трапеция ABCD равнобедренная, BC \parallel

AD , BC > AD . Трапеция ECDA также равнобедренная, причем AE \parallel DC , AE > DC . Найдите BE , если \displaystyle \cos(\angle

CDE + \angle BDA) = \frac{1}{3} и DE = 7 .

Совет. Обе трапеции можно вписать в одну окружность, так как они равнобедренные и у них есть три общих вершины. Диагонали двух трапеций равны: BD = DE . Данную в условии сумму углов дает \angle

DBE .

Решение.

Geom_72 Рис. 7: К задаче 2.49

Обе трапеции можно вписать в одну окружность, т. к. они равнобедренные и у них есть три общих вершины.

Пусть \angle CDE = \alpha , \angle BDA = \beta .

\angle DEA = \angle CBE = \angle CDE = \alpha как углы, опирающиеся на равные дуги. Аналогично \angle ABE = \angle DBC = \angle ADB = \beta.

Т. к. \angle DEB = \angle DBE = \alpha + \beta , то \triangle DBE равнобедренный и DB = DE = 7.

В \triangle DBE : BE = 2\,DE\cdot\cos(\alpha+\beta) = 2\cdot 7\cdot \frac{1}{3} = \frac{14}{3}.

Ответ: \displaystyle \frac{14}{3} .

Задача повышенной сложности

Задача 2.50

МГУ, физический ф-т, 1997 (июль), № 8.

В трапеции BCDE \angle BCD = 90^\circ . Прямая, перпендикулярная стороне DE , пересекает сторону BC в точке M , а сторону DE — в точке N . Известно, что MD = a , а расстояния от точек B и E до прямых CN и MD равны соответственно b и c . Найдите CN .

Решение.

Geom_83 Рис. 8: К задаче 2.50

Около четырёхугольников BMNE и MNCD можно описать окружности, т. к. в каждом из них есть пара прямых углов, равных 90^\circ .

Из свойств вписанных углов: \angle DME = \angle CNB, \qquad \angle MDE = \angle NCB.

Следовательно, \triangle DME \sim \triangle CNB по двум углам. Из подобия: \frac{MD}{CN} = \frac{ME}{NB}.

Опустим перпендикуляры BF и EA . Тогда BF = b , EA = c . Из подобия: \frac{b}{c} = \frac{BN}{EM} \;\Longrightarrow\; \frac{EM}{BN} = \frac{c}{b}.

Следовательно, \frac{MD}{CN} = \frac{EM}{BN} = \frac{c}{b}

\;\Longrightarrow\;

CN = \frac{MD \cdot b}{c} = \frac{ab}{c}.

Ответ: \displaystyle \frac{ab}{c} \vphantom{\int} .