Трапеции. Часть 2.: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 2.48 Задача подготовки к ЕГЭ, С4. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC , причем AD=2BC . На прямой CD взята точка M . Известно, что DM:MC=1:2 . В каком отношении прямая BM делит площадь тре...
Видео
Конспект
Задача 2.48
Задача подготовки к ЕГЭ, С4. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC , причем AD=2BC . На прямой CD взята точка M . Известно, что DM:MC=1:2 . В каком отношении прямая BM делит площадь треугольника ACD ?
Совет. Опять возможны два чертежа. Для случая расположения точки на отрезке CD продолжите прямую BM до пересечения с AD . В обоих случаях воспользуйтесь подобием треугольников.
Решение.
1 случай:
Geom_s_157 Рис. 5: К задаче 2.48
Поскольку DM:MC = 1:2 , обозначим DC = DM = x . Аналогично обозначим BC = y , AD = 2y .
\triangle BCM \sim \triangle PDM по двум углам. Тогда \frac{PD}{BC} = \frac{DM}{MC} \;\Longrightarrow\; \frac{PD}{y} = \frac{x}{2x} \;\Longrightarrow\; PD = \frac{y}{2}.
\triangle AQP \sim \triangle CQB по двум углам. Тогда \frac{AQ}{CQ} = \frac{AP}{CB} \;\Longrightarrow\; \frac{AQ}{QC} = \frac{3y/2}{y} = \frac{3}{2}. Обозначим AQ = 3z , QC = 2z .
Площадь треугольника ACD : S_{ACD} = \tfrac{1}{2}\,AC\cdot AD\cdot\sin\alpha = \tfrac{1}{2}\cdot 5z\cdot 2y\cdot\sin\alpha = 5zy\sin\alpha.
Площадь треугольника AQP : S_{AQP} = \tfrac{1}{2}\,AQ\cdot AP\cdot\sin\alpha
= \tfrac{1}{2}\cdot 3z\cdot \tfrac{3y}{2}\cdot\sin\alpha = \tfrac{9}{4}\,zy\sin\alpha.
Тогда \frac{S_{AQP}}{S_{ACD}} = \frac{9zy\sin\alpha/4}{5zy\sin\alpha} = \frac{9}{20},
\qquad
\frac{S_{AQP}}{S_{QCDP}} = \frac{9}{20-9} = \frac{9}{11}.
2 случай:;
Geom_s_158 Рис. 6: К задаче 2.48
\triangle MKD \sim \triangle MBC по двум углам: \frac{DK}{BC} = \frac{MD}{CM} \;\Longrightarrow\; \frac{DK}{y} = \frac{x}{2x} \;\Longrightarrow\; DK = \frac{y}{2}.
\triangle AQK \sim \triangle CQB по двум углам: \frac{AQ}{QC} = \frac{AK}{BC} = \frac{5y}{2y} = \frac{5}{2}. Обозначим AQ = 5z , QC = 2z .
S_{CQM} = \tfrac{1}{2}\,CQ\cdot CM\sin\beta = \tfrac{1}{2}\cdot 2z\cdot 2x\sin\beta = 2xz\sin\beta. S_{ACD} = \tfrac{1}{2}\,AC\cdot CD\sin\beta = \tfrac{1}{2}\cdot 7z\cdot 3x\sin\beta = \tfrac{21}{2}\,xz\sin\beta. \frac{S_{CQM}}{S_{ACD}} = \frac{2xz\sin\beta}{\tfrac{21}{2}xz\sin\beta} = \frac{4}{21},
\qquad
\frac{S_{CQM}}{S_{AQMD}} = \frac{4}{21-4} = \frac{4}{17}. Ответ: 4:17 или 9:11 .