Трапеции. Часть 2.: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2.46

Задача подготовки к ГИА-2013. Углы при одном из оснований трапеции равны 44^{\circ} и 46^{\circ} , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 44 см и 46 см. Найдите основания трапеции.

Совет. Достройте трапецию до треугольника.

Решение.

Geom_s_155 Рис. 3: К задаче 2.46

Достроим трапецию до треугольника.

Т. к. \angle A + \angle D = 90^\circ , то \angle H = 90^\circ .

Проведём медиану NK . Она пересекает отрезки BC и MN в их серединах M_1 и M_2 соответственно.

Рассмотрим сначала случай, когда MN = 46 , M_1K = 44 . Тогда MM_2 = M_2N = 23 , M_1M_2 = M_2K = 22 .

Т. к. медиана в прямоугольном \triangle MHN равна половине гипотенузы, то HM_2 = 23 , откуда HM_1 = 1 , значит из \triangle DHC DC = 2\,HM_1 = 2 , а из \triangle AHD AD = 2\,HK = 2 \cdot 45 = 90 .

Второй случай, когда MN = 44 , а M_1K = 46 , не реализуется, т. к. M_1M_2 оказывается больше HM_2 .

Ответ: 90 ; 2 .

Задача 2.47

ЕГЭ-2016, тренировочный вариант, № 16.

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD , разбивает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3 , а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10 . Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB , основания AN трапеции ABMN и вписанной в нее окружности.

Решение.

Geom_s_156 Рис. 4: К задаче 2.47

а) В трапеции ABMN , в которую вписана окружность, суммы противоположных сторон равны: AB + MN = BM + AN = \frac{a}{2} + \frac{b}{2}.

Аналогично в трапеции MNCD : CD + MN = CM + DN = \frac{a}{2} + \frac{b}{2}.

Следовательно, AB + MN = CD + MN , откуда AB = CD . Значит, трапеция ABCD равнобедренная.

б) Проведём O_3K \parallel AD . Тогда O_1K = 3 - r , O_1O_2 = 3 + r .

Так как окружности с центрами O_1 и O_2 вписаны в \angle BAD , их центры лежат на биссектрисе этого угла. Центр O_2 также лежит на биссектрисе \angle ABC .

Из условия 2\alpha + 2\beta = 180^\circ получаем \alpha + \beta = 90^\circ .

Из прямоугольного \triangle BO_1E : BO_1 = \sqrt{O_1E^2 + BE^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}, \sin\alpha = \frac{BE}{BO_1} = \frac{2}{\sqrt{13}}.

Из прямоугольного \triangle O_1O_2K : \sin\alpha = \frac{O_1K}{O_1O_2} = \frac{3-r}{3+r}.

Приравниваем: \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{3-r}{3+r}

\;\Longrightarrow\;

2(3+r) = \sqrt{13}(3-r)

\;\Longrightarrow\;

r = \frac{17 - 4\sqrt{13}}{3}.

Ответ: \displaystyle \frac{17 - 4\sqrt{13}}{3} .

Ответ: \displaystyle \frac{17 - 4 \sqrt{13}}{3} .