Взаимное расположение окружностей и треугольников. Часть 2.: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1.43

МГУ, экономический ф-т, отделение менеджмента, 2007 (июль), № 6. Диагональ AB выпуклого четырехугольника AKBC делит его на два треугольника, один из которых равносторонний. Известно, что величина угла ACB равна \displaystyle \frac{\pi}{2} +

\arccos\frac{4}{\sqrt{43}} , а расстояние от точки K до центра окружности, описанной около \triangle ABC , равно 6 . Найдите радиус этой окружности.

Решение.

Okr_47 Рис. 22: К примеру 1.43

По условию задачи: \gamma = \frac{\pi}{2} + \arccos\frac{4}{\sqrt{43}}.

Найдём KM . Т. к. треугольник AKB равнобедренный с углом 60^\circ при вершине, то KM = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\,x.

Отсюда OM = KM - KO = \sqrt{3}\,x - 6.

Из прямоугольного \triangle OMB по теореме Пифагора: OB^{2} = OM^{2} + MB^{2}.

Выразим x через радиус R . По определению синуса: x = R\sin\!\left(\frac{\pi}{2} - \arccos\frac{4}{\sqrt{43}}\right) = \frac{4R}{\sqrt{43}}.

Подставим в теорему Пифагора: R^{2} = \left(\sqrt{3}\cdot\frac{4R}{\sqrt{43}} - 6\right)^{\!2} + x^{2}

= \frac{16R^{2}}{43}.

Раскроем скобки: R^{2} = \frac{48R^{2}}{43} - \frac{48\sqrt{3}}{\sqrt{43}}\,R + 36 + \frac{16R^{2}}{43}.

Приведём подобные: 21R^{2} - 48\sqrt{3\cdot 43}\,R + 36 = 0.

Разделим на 3 : 7R^{2} - 16\sqrt{3\cdot 43}\,R + 12 = 0.

Решим квадратное уравнение: R = \frac{8\sqrt{3\cdot 43} \pm \sqrt{64\cdot 43 - 7\cdot 12\cdot 43}}{7}

= \frac{8 \pm 2\sqrt{16 - 7}}{\sqrt{3\cdot 43}}.

Ответ: R = \frac{24}{\sqrt{129}}.

Задача 1.44

МГУ, физический ф-т, 2005.

Вершина \angle KLM лежит внутри окружности с центром O и радиусом r = 6 , проходящей через концы гипотенузы KM , LH высота треугольника, на прямой KM взята точка N так, что NH = OH . Требуется найти LN .

Решение.

Okr_47(1) Рис. 23: К примеру 1.44

В \triangle KLM с высотой LH , опущенной на гипотенузу KM , выполняется свойство пропорциональных отрезков: LH^{2} = KH \cdot MH.

Треугольник \triangle LHN - прямоугольный с гипотенузой LN . По теореме Пифагора: LN^{2} = LH^{2} + HN^{2} = LH^{2} + OH^{2} = LH^{2} + a^{2}. Продлим HO до пересечения с окружностью с обоих сторон, это точки A и B . По теореме о пересекающихся хордах для хорд KM и AB , пересекающихся в точке H : KH \cdot MH = AH \cdot HB.

Точки A и B лежат на окружности, а H — внутри диаметра AB , поэтому AH = r - a, \qquad HB = r + a.

Следовательно, AH \cdot HB = (r - a)(r + a) = r^{2} - a^{2}.

Приравнивая два выражения для KH \cdot MH , получаем LH^{2} = r^{2} - a^{2}.

Подставим LH^{2} = r^{2} - a^{2} : LN^{2} = r^{2} - a^{2} + a^{2} = r^{2}.

Отсюда: LN = r = 6.

Ответ: LN = 6 .