Выпуклые многоугольники.: Часть 1
Математика, 10 класс
Выпуклые многоугольники Выпуклые многоугольники произвольной формы Определение. Геометрическая фигура называется выпуклой, если любые две ее точки можно соединить отрезком прямой, все точки которого п...
Видео
Конспект
Выпуклые многоугольники
Выпуклые многоугольники произвольной формы
Определение. Геометрическая фигура называется выпуклой, если любые две ее точки можно соединить отрезком прямой, все точки которого принадлежат этой фигуре.
Свойства произвольных выпуклых многоугольников
Сумма углов выпуклого многоугольника равна 180^\circ (n-2) , где n — число сторон многоугольника.
Если в выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр.
Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны.
Для того, чтобы около выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма двух его противолежащих углов равнялась 180^\circ .
Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.
Большинство задач для многоугольников произвольной формы содержат конструкции из многоугольника и окружности. Задачи этого типа и будем рассматривать. Начнем с многоугольников, описанных около окружности.
Пример 2.1
Четырехугольник ABCD описан около окружности радиуса r . Известно, что AB:CD = 2:3 , AD:BC =
2:1 . Найдите стороны четырехугольника, если его площадь равна S .
Решение. Пусть AB = 2a , CD = 3a , AD = 2b , BC = b . (см. рис. 1). Поскольку в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны, а площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр. Отсюда получаем систему уравнений: \left\{\begin{array}{l}
BC + AD = AB + CD, \\
\displaystyle S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CD + AD),\\
\end{array} \right.
\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}
b + 2b = 2a + 3a, \\
\displaystyle S = \frac{1}{2}r(2a + b + 3a + 2b),\\
\end{array} \right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle b = \frac{S}{3r}, \vphantom{\int}\\
\displaystyle a = \frac{S}{5r},\\
\end{array} \right.
\Longrightarrow AB = \frac{2S}{5r},~BC = \frac{S}{3r},~
CD = \frac{3S}{5r},~AD = \frac{2S}{3r}. Ответ: \displaystyle AB = \frac{2S}{5r} , \displaystyle BC = \frac{S}{3r} , \displaystyle CD = \frac{3S}{5r} , \displaystyle AD = \frac{2S}{3r} .
Okr_36 Рис. 1: К примеру 2.1
Задача 2.2
В четырехугольнике ABCD сторона AB=8 . Прямая, соединяющая точку C и центр окружности, вписанной в ABCD , делит диагональ BD в отношении 5:4. Найдите остальные стороны четырехугольника, если AD в два раза меньше AB .
Решение.
Geom_s_129 Рис. 2: К задаче 2.2
Т.к. в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны: 8 + z = y + 4 \;\Longrightarrow\; y = z + 4.
Поскольку окружность вписана в \angle BCD , то CO — биссектриса этого угла.
\triangle BCD . По свойству биссектрисы: \frac{BC}{CD} = \frac{BK}{KD} \;\Longrightarrow\; \frac{y}{z} = \frac{5a}{4a} = \frac{5}{4} \;\Longrightarrow\; y = \frac{5}{4} z.
\begin{cases} y = z + 4 \\[2pt] \dfrac{5}{4} z = z + 4 \end{cases} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} z = 16 \\[2pt] y = 20. \end{cases}
Ответ: 4, 20, 16.