Выпуклые многоугольники.: Часть 2

Видео

Конспект

Теперь рассмотрим многоугольник, вписанный в окружность. Как правило, радиус описанной окружности в таких задачах ищется по теореме синусов для вписанного в круг треугольника, вершины которого являются вершинами многоугольника.

Пример 2.3

МГУ, биологический ф-т, 2006 (июль), № 3.

Выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами AB = 4 , BC = 3 , CD = 2 , AD = 1 вписан в круг. Найдите радиус этого круга.

Решение. Проведем хорду AC и обозначим ее длину как x (см. рис. 3). Так как \angle B +\angle D=\pi то \cos B=-\cos D . Запишем последнее соотношение, используя теорему косинусов для треугольников ABC и ADC : \begin{array}{l}

\displaystyle \frac{AB^2 +BC^2-AC^2}{2\cdot AB \cdot BC}=-\frac{DC^2 +AD^2-AC^2}{2\cdot AD \cdot DC} \\

\displaystyle \qquad \Longleftrightarrow\frac{4^2 +3^2-x^2}{2\cdot 4 \cdot 3}+\frac{2^2 +1^2-x^2}{2\cdot 2 \cdot 1}=0.

\vphantom{\int\limits^1}

\end{array} Отсюда получаем квадратное уравнение для x , решая которое, получаем x^2=\displaystyle \frac{55}{7} . Тогда \cos D \displaystyle = - \frac {5}{7} . Для того, чтобы воспользоваться теоремой синусов, найдем \displaystyle \sin D=\sqrt{1-\frac{25}{49}}=\frac{2\sqrt{6}}{7} \vphantom{\int\limits_-} . Тогда искомого радиуса r верно r = \frac{x}{2 \sin D}=\frac{\sqrt{385}}{4\sqrt{6}}.

Okr_92 Рис. 3: К примеру 2.3

Ответ: \displaystyle \frac{\sqrt{385}}{4 \sqrt{6}} \vphantom{\int} .

Задача 2.4

Найдите радиус окружности, если в нее вписан правильный восьмиугольник, квадрат стороны которого равен 2-\sqrt{2} .

Решение.

Geom_s_130 Рис. 4: К задаче 2.4

\angle \alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ .

\triangle A_1OA_8 , т-ма cos:

A_1A_8^2 = 2r^2 - 2r^2 \cos 45^\circ .

2 - \sqrt{2} = 2r^2\!\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) .

1 = r^2 \;\Longrightarrow\; r = 1 .

Ответ: 1.

Задача 2.5

В четырехугольнике ABCD , вписанном в окружность радиуса 3, диагональ BD является биссектрисой углов B и D . Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника.

Решение.

Geom_s_131 Рис. 5: К задаче 2.5

Т.к. \angle ADC = 90^\circ , то AC — диаметр, \angle ABC = 90^\circ .

Т.к. вписанный четырёхугольник — сумма противоположных углов 180^\circ :

2\alpha + 2\beta = 180^\circ \;\Longrightarrow\; \alpha + \beta = 90^\circ .

\triangle BCD и \triangle BAD прямоугольные \;\Longrightarrow\; BD — диаметр окр-ти.

\triangle BCD: BC^2 + CD^2 = BD^2 = 36 .

\triangle BAD : AB^2 + AD^2 = BD^2 = 36 .

\Longrightarrow\ BC^2 + CD^2 + AB^2 + AD^2 = 72 .

Ответ: 72.