Выпуклые многоугольники.: Часть 3

Видео

Конспект

Существенную роль при решении задач на четырехугольники играет формула площади как произведение диагоналей на синус угла между ними.

Пример 2.6

МГУ, физический ф-т, 1998 (июль), № 6.

На отрезке AC взята точка B , отрезки AC и BC служат диаметрами окружностей. Хорда AN касается меньшей окружности в точке D . Прямая CD пересекает большую окружность в точке M , \angle DAC = \alpha , AC = 2R . Найдите площадь четырехугольника ACNM .

Решение. Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, в данном случае \displaystyle S_{ACNM} = \frac{1}{2}

AN \cdot MC \cdot \sin \angle NDC \vphantom{\int} (см. рис. 6). Рассмотрим \triangle ANC . Угол ANC прямой, так как он опирается на диаметр, поэтому AN = 2R \cos \alpha . Поскольку \angle DOC — внешний угол \triangle AOD , то \angle DOC = 90^\circ + \alpha , а \displaystyle \angle ACM = \angle ODC = \frac{1}{2}\left[180^\circ - (90^\circ + \alpha)\right] = 45^\circ -

\frac{\alpha}{2} \vphantom{\int} . Из прямоугольного \triangle AMC ( \angle AMC = 90^\circ , так как опирается на диаметр) найдем \displaystyle MC = 2R \cos \left(45^\circ -

\frac{\alpha}{2} \right) . Отсюда \begin{array}{l}

\displaystyle S_{ACNM} = \frac{2R \cos \alpha \cdot 2R \cos \left(45^\circ -

\frac{\alpha}{2} \right)}{2} \sin \left(45^\circ +

\frac{\alpha}{2} \right) = \\

\displaystyle \qquad = R^2 (1 + \sin \alpha) \cos \alpha.

\end{array}

Okr_52 Рис. 6: К примеру 2.6

Ответ: \displaystyle S_{ACNM} = R^2 \cos \alpha (1 + \sin \alpha) .

Задача 2.7

В окружность радиуса 5 вписан четырехугольник ABCD , у которого угол D прямой, \displaystyle AB : BC = 3 : 4 . Найдите периметр четырехугольника, если его площадь равна 44 .

Решение.

Geom_s_132 Рис. 7: К задаче 2.7

Т.к. \angle ADC = 90^\circ , то AC — диаметр, \angle ABC = 90^\circ .

Пусть AB = 3x , BC = 4x , CD = a , AD = b .

\triangle ABC : AC^2 = AB^2 + BC^2 \;\Longrightarrow\; 100 = 9x^2 + 16x^2 \;\Longrightarrow\; x = 2 .

\Longrightarrow\; AB = 6 , BC = 8 .

S_{ABC} = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8 = 24 \;\Longrightarrow\; S_{ACD} = 44 - 24 = 20 .

\triangle ACD : a^2 + b^2 = 100 , S_{ACD} = \tfrac{1}{2}ab = 20 \;\Longrightarrow\; ab = 40 .

a^2 + b^2 + 2ab = 100 + 80 = 180 \;\Longrightarrow\; (a+b)^2 = 180 \;\Longrightarrow\; a+b = 6\sqrt{5} .

P_{ABCD} = 6 + 8 + 6\sqrt{5} = 14 + 6\sqrt{5} .

Ответ: 14 + 6 \sqrt 5 .

Задача 2.8

МГУ, ф-т государственного управления, 2007 (июль), № 3. Диагональ разбивает выпуклый четырехугольник на два равных треугольника со сторонами 5 , 12 и 13 . Найдите радиус наименьшего круга, в который можно поместить такой четырехугольник.

Совет. Рассмотрите четыре варианта четырехугольника, удовлетворяющего условию задачи.

Решение.

Geom_s_133 Рис. 8: К задаче 2.8

Сразу отметим, что радиус окр-ти не может быть меньше \frac{13}{2} (иначе сторона 13 в неё просто не влезет).

Покажем, что случай, когда радиус = \frac{13}{2} , действительно реализуется.

Рассмотрим два равных прямоугольных треугольника со сторонами 5 , 12 , 13 (они прямоугольные по т-ме, обратной т-ме Пифагора).

Ответ: \displaystyle \frac{13}{2} .