Выпуклые многоугольники.: Часть 4

Видео

Конспект

Теперь — задачи для многоугольника без окружностей.

Пример 2.9

МГУ, ф-т психологии, 2005 (март), № 4.

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали BD и AC равны стороне AB . Найдите угол BCD и сторону AB , если угол CDA прямой, BC = 4 , AD = 5 .

Решение. Опустим перпендикуляры BM на AD и CK на BM (рис. 9). Тогда CDMK — прямоугольник, причем \displaystyle AM = MD = CK = \frac{5}{2} . По теореме Пифагора имеем \displaystyle BK^2 = BC^2 - CK^2 = \frac{39}{4} , откуда \displaystyle BK

= \frac{\sqrt{39}}{2} . Пусть AB = AC = BD = x , тогда из \Delta ACD по теореме Пифагора \displaystyle CD = \sqrt{x^2 - 25} и AB^2 = AM^2 + BM^2~~\Longrightarrow

x^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(

\frac{\sqrt{39}}{2} + \sqrt{x^2 - 25} \right)^2. Рассмотрим \triangle BCK . В нем \angle BKC = 90^\circ , \displaystyle \cos \angle BCK = \frac{KC}{BC} = \frac{5}{8} , \displaystyle\angle BCD = \angle BCK + \angle KCD поэтому \displaystyle\angle BCD = \arccos \frac{5}{8} + \frac{\pi}{2} .

Okr_82 Рис. 9: К примеру 2.9

Ответ: \displaystyle \arccos \frac{5}{8} + \frac{\pi}{2} , \displaystyle

\frac{4\sqrt{22}}{\sqrt{13}} .

Задача 2.10

МГУ, химический ф-т, 2001 (май), № 5.

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы при вершинах равны. Известно, что AB=3 , BC=4 , CD=5 и EF=1 . Найдите длины сторон DE и AF .

Совет. Продолжив стороны шестиугольника, достройте его до равностороннего треугольника.

Решение.

Geom_s_134 Рис. 10: К задаче 2.10

Т.к. все внутренние углы шестиугольника равны между собой, то каждый из них \frac{180(6-2)}{6} = 30\cdot 4 = 120^\circ. Достроим шестиугольник до треугольника, продолжив BC и EF . Получаем равносторонний треугольник со стороной 12. Отсюда следует, что ED = 6, AF = 8.

Ответ: 6 и 8.

Задача 2.11

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей 2 см и 4 см. Найдите площадь четырехугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны.

Решение.

Geom_s_135 Рис. 11: К задаче 2.11

Пусть M_1, M_2, M_3, M_4 — середины соответствующих сторон.

M_2M_3 — средняя линия \triangle ABC \;\Rightarrow\; M_3M_2 \parallel AC,\quad M_2M_3 = \tfrac{1}{2}AC.

Аналогично M_1M_4 \parallel AC,\ M_1M_4 = \tfrac{1}{2}AC.

Аналогично M_1M_3 \parallel BD,\ M_1M_3 = \tfrac{1}{2}BD,\quad M_2M_4 \parallel BD,\ M_2M_4 = \tfrac{1}{2}BD.

M_1M_4 \parallel M_3M_2,\ M_3M_2 = M_1M_4 \;\Rightarrow\; M_1M_3M_2M_4 — параллелограмм.

По условию равны, он прямоугольник.

M_1M_4 \perp M_2M_3 \;\Rightarrow\; AC \perp BD \;\Rightarrow\; S_{ABCD} = \tfrac{1}{2}AC\cdot BD = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 4 = 4\ см^2.

Ответ: 4 см ^2 .