Выпуклые многоугольники часть 2. Параллелограммы.: Часть 1

Видео

Конспект

Пример 2.12

МГУ, физический ф-т, 2005 (июль), № 4.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, AD = DC , диагонали AC и BD пересекаются в точке E , BA = a , BC

= c , BD = d . Найдите ED .

Okr_31 Рис. 1: К примеру 2.12

Решение. {Поскольку вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равны, то \angle ABD = \angle CBD = \angle CAD , \angle ACB = \angle ADB (см. рис. 1). Отсюда следует, что \triangle ABD \sim \triangle BEC по двум углам, поэтому

\begin{array}{l}

\displaystyle \frac{AB}{BE} = \frac{BD}{BC} \Longrightarrow

\frac{a}{BE} = \frac{d}{c} \Longrightarrow

{BE} = \frac{ac}{d} \Longrightarrow \\

\displaystyle \qquad ED = BD - BE = d - \frac{ac}{d}.

\end{array} Ответ: \displaystyle ED = \frac{d^2 - ac}{d} .

Задача 2.13

ГИА-2015, тренировочный вариант.

В выпуклом четырехугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S . Найдите NS , если известно, что около четырехугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14 , SQ = 4 .

Решение.

Geom_s_136 Рис. 2: К задаче 2.13

Т.к. \angle PNQ = \angle MNQ , то MQ = PQ = 14 . Пусть \angle PNQ = \angle MNQ = \alpha , \angle PMQ = \angle MPQ = \alpha , т.к. они опираются на равные дуги. Пусть \angle NPM = \angle NQM = \beta , т.к. они опираются на одну дугу. \triangle NMQ \sim \triangle MSQ по двум углам:

\frac{NQ}{MQ} = \frac{MQ}{SQ} \;\Longrightarrow\; \frac{NQ}{14} = \frac{14}{4} \;\Longrightarrow\; NQ = 49 \;\Longrightarrow\; NS = NQ - SQ = 49 - 4 = 45. Ответ: 45 .

Задача 2.14

МГУ, дополнительное испытание, 2011, № 5.

Медианы AP и BQ треугольника ABC пересекаются в точке D . Найдите длину отрезка AB , если CD=\sqrt{12} и известно, что вокруг четырехугольника PCQD можно описать окружность.

Совет.\ {Соедините точки P и Q отрезком прямой и учтите, что это средняя линия треугольника.}

Решение.

Geom_s_137 Рис. 3: К задаче 2.14

Поскольку все медианы пересекаются в одной точке, то CM — медиана \triangle ABC \Rightarrow CO — медиана \triangle PQC . Пусть PO = OQ = x . Т.к. около четырехугольника PCQD можно описать окружность, воспользуемся свойством отрезков пересекающихся хорд:

PO \cdot OQ = CO \cdot OD. Т.к. медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 , то

CM = \tfrac{3}{2}\,CD = \tfrac{3}{2}\cdot\sqrt{12} = 3\sqrt{3},\qquad CO = \tfrac{1}{2}CM = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}, т.к. PQ — средняя линия \triangle ABC . Отсюда:

x^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(\sqrt{12} - \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right) \;\Rightarrow\; x^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{9}{4} \;\Rightarrow\; x = \tfrac{3}{2} \;\Rightarrow\; PQ = 3 \;\Rightarrow\; AB = 2PQ = 6. Ответ: 6.