Выпуклые многоугольники часть 2. Параллелограммы.: Часть 2

Видео

Конспект

Параллелограммы

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

Свойства и признаки параллелограммов

Во всяком параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Если в выпуклом четырехугольнике противоположные стороны попарно равны между собой, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Если в выпуклом четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Выпуклый четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Параллелограмм описан около окружности тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Параллелограмм вписан в окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником.

Диагонали параллелограмма равны тогда и только тогда, когда он является прямоугольником.

Ромб вписан в окружность тогда и только тогда, когда он квадрат.

Четырехугольник, ограниченный биссектрисами внутренних углов параллелограмма, есть прямоугольник, диагонали которого параллельны сторонам параллелограмма.

Пример 2.15

Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 3 и 5 , а острый угол параллелограмма равен 60^\circ .

Okr_53 Рис. 4: К примеру 2.15

Решение. Обозначим AB=CD=a и AD=BC=b (см. рис. 4). Тогда площадь параллелограмма будет S=ab \cdot \sin{60^\circ} . Запишем теорему косинусов для треугольников ABD и ABC , учитывая, что \angle

ABC=180^\circ-\angle BAD=120^\circ : \left\{ {\begin{array}{l}

a^2+b^2-2ab\cos{60^\circ}= BD^2, \\

a^2+b^2-2ab\cos{120^\circ}= AC^2, \\

\end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}

a^2+b^2-ab= 9, \\

a^2+b^2+ab= 25. \\

\end{array}} \right. Вычитая из второго уравнения первое, находим значение для ab : 2ab=25-9=16 . \displaystyle S=ab\cdot \sin 60^\circ=8\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}. Ответ: 4\sqrt{3} .

Задача 2.16

Периметр параллелограмма равен 90, а острый угол составляет 60^\circ . Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1:3 . Найдите стороны параллелограмма.

Решение.

Geom_s_138 Рис. 5: К задаче 2.16

Пусть меньшая и большая стороны параллелограмма a и b соответственно.

Т.к. острый угол 60^\circ , то тупой будет 120^\circ , \Rightarrow диагональ BD разделит на 90^\circ и 30^\circ .

\triangle ABD : \displaystyle AD = \frac{AB}{\cos 60^\circ} \;\Rightarrow\; b = 2a .

Т.к. P = 90 \;\Rightarrow\; 4a + 2a = 90 \;\Rightarrow\; a = 15,\; b = 30 .

Ответ: 15 и 30 .

Стороны параллелограмма равны 4 см и 6 см. Из середины большей стороны параллельная сторона видна под углом 45^\circ . Найдите площадь параллелограмма.

Okr_75 Рис. 6: К примеру 2.17

Решение. Обозначим вершины параллелограмма буквами ABCD , а середину большей стороны BC — буквой M (см. рис. 6). Проведем через точку M прямую, параллельную AB , а через точку A прямую, параллельную DM , до пересечения с первой прямой. Обозначим точку пересечения N . Полученный четырехугольник AMDN — параллелограмм (покажите это, пользуясь, например, одним из признаков параллелограмма). Покажем, что площади параллелограммов ABCD и AMDN равны. Пусть K есть точка пересечения AD и MN . Тогда S_{ABM}=S_{MKA} , так как ABMK — параллелограмм. Аналогично S_{KMD}=S_{DCM} . Также S_{AMD}=S_{ADN} . Следовательно, достаточно найти S_{AMDN} , а решение такой задачи рассмотрено выше (см. пример 2.15).

Ответ: 7 \mbox{ см}^2 .