Параллелограммы. Часть 2.: Часть 1

Видео

Конспект

Пример 2.24

ОГЭ, тренировочный вариант, № 25.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 56 .

Okr_108 Рис. 1: К примеру 2.24

Решение. Пусть ABCD — параллелограмм, EFGH — ромб (рис. 1). Обозначим AE = x , EB = y , AC = d , BD = 56 d , \angle AOD = \alpha , a — сторона ромба. Треугольники ABC и BEF подобны, так как EF \parallel AC . Отсюда \frac{EF}{AC} = \frac{BE}{AB}

\Longleftrightarrow

\frac{a}{d} = \frac{y}{x + y}. Аналогично, \triangle ABD \sim \triangle AEH , откуда \frac{HE}{BD} = \frac{AE}{AB}

\Longleftrightarrow

\frac{a}{56d} = \frac{x}{x + y}. Сложим два полученных уравнения: \frac{a}{d} + \frac{a}{56d} = \frac{y}{x+y} + \frac{x}{x+y}

\Longleftrightarrow

\frac{57}{56} \cdot \frac{a}{d} = 1. Площадь параллелограмма S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin \alpha = 28d^2 \sin \alpha . Площадь ромба S_{EFGH} = a^2 \sin \alpha , так как стороны ромба параллельны диагоналям. Отсюда отношение площадей \frac{S_{EFGH}}{S_{ABCD}} = \frac{1}{28} \left(\frac{a}{d} \right)^2 =

\frac{1}{28} \left(\frac{56}{57} \right)^2 = \frac{112}{3249}. Ответ: \displaystyle \frac{112}{3249} .

Пример 2.25

МИФИ, 2007 (март), олимпиада.

Внутри параллелограмма размещены две окружности так, что их центры лежат на большей диагонали, и каждая из них касается двух смежных сторон и друг друга. Диагонали параллелограмма равны 6 и 8, а радиусы окружностей относятся как 1:2 . Найдите радиусы окружностей и угол параллелограмма.

Okr_37 Рис. 2: К примеру 2.25

Решение. Если окружность касается смежных сторон и центр лежит на диагонали, то диагональ является биссектрисой угла параллелограмма и \angle CAD= \angle BAC (см. рис. 2). В то же время \angle BAC=\angle ACD как внутренние накрест лежащие углы, поэтому \triangle ADC равнобедренный, так как у него равны углы при основании: AD=DC . Аналогично доказывается попарное равенство других сторон, следовательно, параллелограмм есть ромб. По свойству ромба его диагонали взаимно перпендикулярны, а также делятся точкой пересечения пополам. Тогда искомый угол можно найти, например, из прямоугольного треугольника ABO : \angle BAD= 2\angle BAC=2\displaystyle\arctg {\frac{3}{4}}=2\arcsin{\frac{3}{5}} .

Теперь найдем радиусы окружностей. Обозначим их r и 2r . Запишем диагональ AC=AO_2+2r+r+O_1C . Здесь AO_2=\displaystyle

\frac{2r}{\sin{\angle BAC}}= \frac{10r}{3} , O_1C=\displaystyle

\frac{r}{\sin{\angle BAC}}= \frac{5r}{3} . Отсюда AC=\displaystyle

\frac{10r}{3}+\frac{5r}{3}+2r+r=8 \Longleftrightarrow r=1 \vphantom{\int\limits^-} .

Ответ: 1 ; 2 ; \displaystyle 2\arcsin{\frac{3}{5}}=2\arctg{\frac{3}{4}} .

Задача 2.26

В параллелограмме, диагональ которого является биссектрисой угла в 60^{\circ} , размещены две одинаковые окружности так, что их центры лежат на этой диагонали, и каждая из них касается двух смежных сторон и друг друга. Найдите радиус окружностей, если сторона параллелограмма равна 2 .

Geom_s_143 Рис. 3: К задаче 2.26

Решение.

Обозначим радиус окружностей через r . Так как диагональ BD является биссектрисой угла \angle ABC = 60^{\circ} , то \angle ABD = \angle DBC = 30^{\circ} , и аналогично \angle CDA = 60^{\circ} , \angle ADB = \angle BDC = 30^{\circ} .

По условию сторона ромба равна 2 . Рассмотрим \triangle ABD . В нём AB = AD = 2 , а угол при вершине B равен 30^{\circ} . Найдём BD по теореме косинусов из \triangle ABD : BD^{2} = AB^{2} + AD^{2} - 2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos\angle BAD. Так как \angle BAD = 120^{\circ} , то \cos\angle BAD = -\tfrac{1}{2} : BD^{2} = 4 + 4 - 2\cdot 2\cdot 2\cdot\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = 8 + 4 = 12,

\qquad BD = 2\sqrt{3}.

Первая окружность касается сторон AB и BC (угол при вершине B ) и имеет центр O_1 на биссектрисе BD . Пусть BO_1 = x . Тогда, опуская перпендикуляр из O_1 к стороне AB , получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой BO_1 и углом 30^{\circ} при вершине B , откуда r = BO_1 \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{x}{2}

\;\Longrightarrow\;

x = 2r.

Аналогично для второй окружности: DO_2 = 2r .

Так как окружности касаются друг друга, а их центры O_1 и O_2 лежат на отрезке BD , то BD = BO_1 + O_1O_2 + O_2D = 2r + 2r + 2r = 6r.

Приравнивая к найденному BD = 2\sqrt{3} , получаем 6r = 2\sqrt{3}

\;\Longrightarrow\;

r = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Ответ: \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} .