Параллелограммы. Часть 2.: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 2.27

ЕГЭ-2020, основная волна, № 16.

На сторонах BC , AC AB треугольника ABC отмечены точки A_1 , B_1 , C_1 соответственно, причем BA_1:A_1C=1:2 , AB_1:B_1C=1:3 , AC_1:C_1B=8:3 . Отрезки BB_1 и CC_1 пересекаются в точке D .

a) Докажите, что ADA_1B_1 — параллелограмм.

б) Найдите длину отрезка CD , если AD\perp BC , AC=28 , BC=18 .

Okr_104 Рис. 4: К примеру 2.27

Решение.

а) Для \triangle ABB_1 и секущей CC_1 (рис. 4) запишем теорему Менелая: \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BD}{DB_1} \cdot \frac{B_1C}{AC} = 1

\Longleftrightarrow

\frac{8}{3} \cdot \frac{BD}{DB_1} \cdot \frac{3}{4} = 1

\Longrightarrow

BD = \frac{1}{2} DB_1.

Также по условию \displaystyle BA_1 = \frac{1}{2} A_1 C , следовательно, DA_1 \| AC по обратной теореме Фалеса. Докажем, что DA_1 = AB_1 : \triangle BDA_1 \sim \triangle BB_1C , тогда \frac{DA_1}{B_1C} = \frac{BA_1}{BC} = \frac{1}{3}. Но по условию \displaystyle \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{1}{3}

\Longrightarrow

DA_1 = AB_1. Таким образом, две стороны четырехугольника ADA_1B_1 равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

б) Из условия получаем, что AB_1=7 , A_1C=12 . Четырехугольник ADA_1B_1 — параллелограмм, поэтому DA_1=AB_1=7 . По теореме Фалеса для отрезков AB_1 , B_1C и параллельных прямых AQ и B_1A_1 получаем: \frac{QA_1}{A_1C} = \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{1}{3} , откуда QA_1=4 . По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике DQA_1 находим DQ= \sqrt{49 - 16}= \sqrt{33} . По теореме Пифагора в треугольнике DQC вычисляем CD = \sqrt{33+ 256} = 17 .

Ответ: б) 17 .