Выпуклые многоугольники часть 2. Параллелограммы.: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 2.17 В ромбе ABCD точка K делит сторону BC так, что BK:KC=2:1 . Найдите, под каким углом видна сторона AD из точки K , если диагональ ромба равна его стороне. Решение. Geom_s_139 Рис. 7: К зада...
Видео
Конспект
Задача 2.17
В ромбе ABCD точка K делит сторону BC так, что BK:KC=2:1 . Найдите, под каким углом видна сторона AD из точки K , если диагональ ромба равна его стороне.
Решение.
Geom_s_139 Рис. 7: К задаче 2.18
Пусть BK = 2x , KC = x . Тогда AB = 3x .
Т.к. диагональ ромба равна его стороне, то острый угол ромба равен 60^\circ , а тупой — 120^\circ .
\triangle ABK , по теореме косинусов найдем AK : AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2\,AB\cdot BK\cos 120^\circ = 9x^2 + 4x^2 - 2\cdot 3x\cdot 2x\cdot\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = 19x^2.
\triangle KCD , по теореме косинусов получаем KD : KD^2 = KC^2 + CD^2 - 2\,KC\cdot CD\cos 60^\circ = x^2 + 9x^2 - 2\cdot x\cdot 3x\cdot\tfrac{1}{2} = 7x^2.
\triangle AKD , найдем косинус \angle AKD : \cos\angle AKD = \frac{AK^2 + KD^2 - AD^2}{2\,AK\cdot KD} = \frac{19x^2 + 7x^2 - 9x^2}{2\cdot\sqrt{19}\cdot\sqrt{7}\,x^2} = \frac{17}{2\sqrt{133}}.
Ответ: \displaystyle \arccos {\frac{17}{2\sqrt{133}}} .
Рассмотрим ряд задач, в которых диагональ параллелограмма совпадает с его биссектрисой.
Пример 2.18
Задачи ЕГЭ (B11*).
В параллелограмме ABCD биссектриса угла B пересекает сторону CD в точке T и прямую AD в точке M . Найдите периметр треугольника ABM , если BC = 15 , BT = 18 , TM = 12 .
Okr_54 Рис. 8: К примеру 2.19
Решение. Треугольник ABM — равнобедренный: \angle ABM = \angle MBC , так как BM — биссектриса, \angle AMB = \angle CBM как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC (см. рис. 8). В \triangle ABM BM =30 . Осталось найти AM , при этом AB = AM . Известно, что AD = BC =15 . Найдем DM . Так как \triangle BTC\sim DMT , то \frac{DM}{BC} = \frac{TM}{BT}
\Longleftrightarrow
DM = 10. Отсюда P = 30 + 2(15 + 10) = 80 .
Ответ: P = 80 .
Задача 2.19
Задача ЕГЭ-2008.
В параллелограмме MNPQ биссектриса угла M пересекает сторону NP в точке A так, что AN: AP = 3 : 2 . Найдите длину меньшей стороны параллелограмма, если его периметр равен 48 см.
Решение.
Geom_s_140 Рис. 9: К задаче 2.20
Пусть AN = 3x , AP = 2x .
\angle AMQ = \angle MAN как накрест лежащие \Rightarrow \triangle MNA — равнобедренный, \Rightarrow MN = AN = 3x .
P = 10x + 6x = 48 \;\Rightarrow\; x = 3 \;\Rightarrow\; MN = 9\ см. Ответ: 9 см.