Выпуклые многоугольники часть 2. Параллелограммы.: Часть 4

Видео

Конспект

Свойство биссектрис внутренних углов параллелограмма.

Биссектрисы внутренних углов параллелограмма образуют прямоугольник.

Geom_s_sv Рис. 10: К свойству биссектрис внутренних углов параллелограмма

Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм. Обозначим через E точку пересечения биссектрис углов A и B , через F — биссектрис углов B и C , через G — биссектрис углов C и D , через H — биссектрис углов D и A .

Рассмотрим треугольник ABE . Имеем \angle BAE = \tfrac{1}{2}\angle A (так как AE — биссектриса угла A ) и \angle ABE = \tfrac{1}{2}\angle B (так как BE — биссектриса угла B ).

Поскольку AD \parallel BC , сумма углов параллелограмма при стороне AB равна 180^\circ , то есть \angle A + \angle B = 180^\circ .

Следовательно, \angle AEB = 180^\circ - \tfrac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ.

Аналогично доказывается, что \angle BFC = \angle CGD = \angle DHA = 90^\circ.

Итак, все четыре угла четырёхугольника EFGH прямые, значит EFGH — прямоугольник.

Пример 2.20

МГУ, химический ф-т, 2006 (июль), № 4.

Биссектрисы внутренних углов параллелограмма ABCD образуют четырехугольник EFGH , каждая вершина которого получена как пересечение двух биссектрис. Найдите сумму квадратов всех сторон в четырехугольнике EFGH , если AB = BC + 3/2 .

Okr_50 Рис. 11: К примеру 2.21

Решение. Поскольку \angle DCK = \angle BKC как накрест лежащие (см. рис. 11) и \angle DCK = \angle BCK , так как CK — биссектриса, то \angle BCK = \angle BKC и \triangle BCK — равнобедренный ( BC = BK ). Известно (см. свойства параллелограмма), что четырехугольник (в данном случае EFGH ), ограниченный биссектрисами внутренних углов параллелограмма, есть прямоугольник(см. рис. 10). Поскольку точки E и G лежат на пересечении биссектрис, они равноудалены от сторон AB и CD и отрезок EG \| AB . Отсюда вытекает, что AKEG — параллелограмм, следовательно \displaystyle EG = AK = AB - BK = AB - BC = \frac{3}{2} . Так как у параллелограмма сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей, а диагонали прямоугольника равны, то \displaystyle EF^2 + FG^2 + GH^2 + HE^2 = 2 EG^2 = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}. Ответ: 4,5 .

Задача 2.21

МГУ, географический ф-т, 1966.

В параллелограмме со сторонами a и b и углом \alpha проведены биссектрисы четырех углов. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение.

Geom_s_141.jpg Рис. 12: К задаче 2.22

Ранее было доказано, что четырёхугольник, образованный биссектрисами внутренних углов параллелограмма, представляет собой прямоугольник, диагонали которого параллельны сторонам параллелограмма.

Следовательно, \angle FOG = \angle BAD = \alpha , как углы с сонаправленными сторонами.

Для нахождения площади прямоугольника EFGH найдём его диагональ EG .

Ранее доказано, что \triangle ABK — равнобедренный, т.е. AB = AK = a \Rightarrow KD = b - a . EGDK — параллелограмм, \Rightarrow EG = b - a .

\Rightarrow FK = b - a (диагонали прямоугольника равны) \Rightarrow S_{EFGH} = \tfrac{1}{2}(b - a)^2 \sin \alpha.

Ответ: \displaystyle \frac{1}{2} (a - b)^2 \sin \alpha \vphantom{\int} .

Задача 2.22

(Вариант ЕГЭ, C4) В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM:MN = 1:2 . Найдите BC , если AB = 12 .

Совет. Учтите, что точка пересечения биссектрис может лежать как внутри параллелограмма, так и вне него.

Решение.

Geom_s_142_a Рис. 13: К задаче 2.23

Рассмотрим первый случай (рис 13). Обозначим BM = AB = x , тогда MN = 2x , NC = DC = x .

Т.к. AB = x = 12 , то BC = 4x = 48 .

Рассмотрим второй случай (рис. 14).

Geom_s_142_b Рис. 14: К задаче 2.23

Пусть BM = x , MN = 2x , NC = x \Rightarrow BN = 3x , \Rightarrow AB = 3x = 12 \Rightarrow x = 4 . BC = 4x = 16 .

Ответ: 16 или 48 .