Исследование свойств, не требующее получения решений Часть 3: Часть 3
Математика, 11 класс
Задача 3.25. Условие При каких a система уравнений \left\{ {\begin{array}{l} \log_3 (y-3)-2\log_9 x=0, \\ (x+a)^2-2y-5a=0 \end{array}} \right. имеет хотя бы одно решение? Решение Сначала отметим, что...
Видео
Конспект
Задача 3.25.
Условие
При каких a система уравнений \left\{ {\begin{array}{l}
\log_3 (y-3)-2\log_9 x=0, \\
(x+a)^2-2y-5a=0
\end{array}} \right. имеет хотя бы одно решение?
Решение
Сначала отметим, что областью допустимых значений будет x>0,~y>3 . Далее, из первого уравнения следует соотношение: y=x+3. Подставляя y=x+3 во второе уравнение, получаем систему: \left\{ {\begin{array}{l}
x > 0,\\
y=x+3, \\
x^2+2ax+a^2-6-2x-5a=0,
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}
x > 0,\\
y=x-6, \\
x^2+2(a-1)x+a^2-5a-6=0.
\end{array}} \right. Решение системы существует, если хотя бы один из корней (больший) квадратного уравнения больше нуля: x = -(a-1)+\sqrt {3a+7}>0. Решим это иррациональное неравенство. \begin{array}{l}
\sqrt {3a+7} > a - 1
\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a - 1 < 0,\\
3a + 7 \geqslant 0,\\
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a - 1 \geqslant 0,\\
3a + 7 > (a - 1)^2,\\
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow \\
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a < 1,\\
a \geqslant - \frac{7}{3},\\
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a \geqslant 1,\\
a^2 - 5a - 6 < 0,\\
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
- \frac{7}{3} \leqslant a < 1,\\
- 1 \leqslant a < 6,
\end{array} \right.
\Longleftrightarrow
- \frac{7}{3} \leqslant a < 6.
\end{array}
Ответ \left[-\frac{7}{3} ;6\right) .
Пример 3.26.
Условие
Для каждого a решите систему \left\{ {\begin{array}{l}
9\log^2 _{27} x+4\log^2 _9 y\leqslant 4\left(a^2+2a \right), \\
\log^2 _{3} xy\geqslant 8\left(a^2+2a \right).
\end{array}} \right.
Решение
Областью допустимых значений является x>0 , y>0 . Преобразуем систему, перейдя к к основанию 3 и воспользовавшись формулой логарифма произведения: \left\{ {\begin{array}{l}
\log^2 _{3} x+\log^2 _3 y\leqslant 4\left( a^2 + 2a \right), \\
\left(\log _{3} x + \log _{3} y\right)^2\geqslant 8\left( a^2 + 2a \right).
\end{array}} \right. Умножим первое неравенство в системе на (-2) и прибавим его ко второму: \left\{ {\begin{array}{l}
\log^2 _{3} x+\log^2 _3 y\leqslant 4 \left( a^2 + 2a \right), \\
-\left(\log _{3} x - \log _{3} y\right)^2\geqslant 0.
\end{array}} \right. Из второго соотношения в этой системе следует, что \log _{3} x=\log _{3} y\Longleftrightarrow x=y . Учитывая это, запишем систему неравенств для переменной x (необходимо учесть оба неравенства!): \left\{ {\begin{array}{l}
2\log^2 _{3} x \leqslant 4 \left( a^2 + 2a \right), \\
4\left(\log _{3} x \right)^2\geqslant 8\left( a^2 + 2a \right).
\end{array}} \right. Отсюда получаем, что \log^2 _{3} x =2 \left( a^2 + 2a \right) . Для существования решения надо потребовать, чтобы a^2+2a\geqslant 0 .
Ответ если a \in (-\infty; -2)\cup (0; +\infty) , то x=y=3^{\sqrt{2a^2+4a}} или x=y=3^{-\sqrt{2a^2+4a}} ; если a=-2 или a=0 , то x=1, y=1 ; если a \in (-2;0) , то решений нет.
Задача 3.27.
Условие
Для каждого a решите систему \left\{ {\begin{array}{l}
4\log^2 _{4} x+9\log^2 _8 y\leqslant 4 \left( a^2 + a \right), \\
\log^2 _{2} xy\geqslant 8\left( a^2 + a \right).
\end{array}} \right.
Решение
Областью допустимых значений является x>0 , y>0 . Преобразуем систему, перейдя к к основанию 3 и воспользовавшись формулой логарифма произведения: \left\{ {\begin{array}{l}
\log^2 _{2} x+\log^2 _2 y\leqslant 4\left( a^2 + a \right), \\
\left(\log _{2} x + \log _{2} y\right)^2\geqslant 8\left( a^2 + a \right).
\end{array}} \right. Умножим первое неравенство в системе на (-2) и прибавим его ко второму: \left\{ {\begin{array}{l}
\log^2 _{2} x+\log^2 _2 y\leqslant 4 \left( a^2 + a \right), \\
-\left(\log _{2} x - \log _{2} y\right)^2\geqslant 0.
\end{array}} \right. Из второго соотношения в этой системе следует, что \log _{2} x=\log _{2} y\Longleftrightarrow x=y . Учитывая это, запишем систему неравенств для переменной x (необходимо учесть оба неравенства!): \left\{ {\begin{array}{l}
2\log^2 _{2} x \leqslant 4 \left( a^2 + a \right), \\
4\left(\log _{2} x \right)^2\geqslant 8\left( a^2 + a \right).
\end{array}} \right.
Отсюда получаем, что \log^2 _{2} x =2 \left( a^2 + a \right) . Для существования решения надо потребовать, чтобы a^2+a\geqslant 0 .
Ответ если a \in (-\infty; -1)\cup (0; +\infty) , то x=y=2^{\sqrt{2a^2+2a}} или x=y=2^{-\sqrt{2a^2+2a}} ; если a=-1 или a=0 , то x=1, y=1 ; если a \in (-1;0) , то решений нет.