С дополнительными условиями: Часть 1

Видео

Конспект

Решение уравнений и неравенств с параметрами при наличии дополнительных условий

В рассматриваемых далее задачах решение подчиняется еще дополнительным условиям. Например, требуется выяснить при каких значениях параметра решение попадает в определенный промежуток или само образует промежуток заданной длины.

Пример 2.1.

Условие

Для каждого допустимого значения a решите неравенство a^x(a-2)^x -2a^{x+1}-(a-2)^x+2a\leqslant 0 и найдите, при каких значениях a множество решений неравенства представляет собой промежуток длины 2 .

Решение

Сначала преобразуем левую часть неравенства: \begin{array}{l}

a^x(a-2)^x -2a^{x+1}-(a-2)^x+2a\leqslant 0\Longleftrightarrow \\

a^x \left( (a-2)^x - 2a \right) - \left( (a-2)^x - 2a \right) \leqslant 0 \Longleftrightarrow \\

\qquad \left( (a-2)^x - 2a \right) \left( a^x - 1 \right) \leqslant 0.

\end{array} Последнее неравенство эквивалентно совокупности систем: \left[ {\begin{array}{l}

\left\{ {\begin{array}{l}

(a-2)^x-2a\leqslant 0, \\

a^x-1\geqslant 0, \\

\end{array}} \right.\\

\left\{ {\begin{array}{l}

(a-2)^x-2a\geqslant 0, \\

a^x-1\leqslant 0. \\

\end{array}} \right.

\end{array}} \right. Далее нужно действовать очень аккуратно, так как условий будет много. Учтем, во-первых, что из свойств показательной функции следует, что a>2 , следовательно, функция a^x — возрастающая.

Рассмотрим первую систему. \left\{ {\begin{array}{l}

(a-2)^x\leqslant 2a , \\

a^x-1\geqslant 0, \\

\end{array}} \right. \Longleftrightarrow

\left[ {\begin{array}{l}

\left\{ {\begin{array}{l}

2<a<3, \\

x\geqslant \log_{(a-2)} {2a},\\

x\geqslant 0, \\

\end{array}} \right.\\

\left\{ {\begin{array}{l}

a>3, \\

x\leqslant \log_{(a-2)} {2a},\\

x\geqslant 0. \\

\end{array}} \right.

\end{array}} \right.

Если основание логарифма меньше единицы, то логарифмическая функция является убывающей, поэтому значениям аргумента 2a

\geqslant 1 соответствуют значения функции \log_{(a-2)} {2a}\leqslant 0 , следовательно, пересечение областей изменения x будет [0; +\infty) ; если основание больше единицы, то значения логарифмической функции неотрицательны, и область изменения x будет \left[0; \log_{(a-2)} {2a} \right] . Исходя из этого, получаем: \left[ {\begin{array}{l}

\left\{ {\begin{array}{l}

2<a<3, \\

x\geqslant 0, \\

\end{array}} \right.

\left\{ {\begin{array}{l}

a>3, \\

0 \leqslant x\leqslant \log_{(a-2)} {2a}.

\end{array}} \right.

\end{array}} \right.

Аналогично решаем вторую систему, рассматривая различные области изменения основания логарифма, и получаем в результате \left\{ \begin{array}{l}

(a-2)^x - 2a \geqslant 0, \\

\left( a^x - 1 \right) \leqslant 0, \\

\end{array} \right.\Longleftrightarrow

\left[ {\begin{array}{l}

\left\{ {\begin{array}{l}

2<a<3, \\

x \leqslant \log_{(a-2)} {2a}, \\

\end{array}} \right.\\

\left\{ {\begin{array}{l}

a>3, \\

x\in \emptyset.

\end{array}} \right.

\end{array}} \right. Осталось рассмотреть только a-2=1 . Подставляя a=3 в исходное неравенство, после несложных преобразований получаем, что x\geqslant 0 .

Объединяя полученные результаты, получаем, что при 2<a<3 либо x\leqslant \log_{(a-2)} {2a} , либо x\geqslant 0 ; при a=3 x\geqslant 0 ; при a>3 0 \leqslant x\leqslant \log_{(a-2)} {2a} .

Теперь можно ответить и на второй вопрос задачи. Промежуток конечной длины среди решений неравенства только один: \left[0; \log_{(a-2)} {2a} \right] . Его длина равна 2 , если \log_{(a-2)} {2a}=2\Longleftrightarrow (a-2)^2=2a \Longleftrightarrow a=3\pm\sqrt{5}. Из ограничения a>2 вытекает, что подходит только a=3+\sqrt{5} .

Ответ 1) если a\in (2;3) , то x \in \left( - \infty; \log_{(a-2)} {2a} \right] \cup [0;+\infty) ; если a=3 , то x\in [0;+\infty) ; если a\in (3;+\infty) , то x \in \left[ 0; \log_{(a-2)} {2a} \right] ;

2) 3+\sqrt{5} .

Задача 2.2.

Условие

Для каждого допустимого значения a решите неравенство a^x(a-1)^x -3a^{x+1}-(a-1)^x+3a\leqslant 0 и найдите, при каких значениях a множество решений неравенства представляет собой промежуток длины 2 .

Решение

Сначала преобразуем левую часть неравенства: \begin{array}{l}

a^x(a-1)^x -3a^{x+1}-(a-1)^x+3a\leqslant 0\Longleftrightarrow \\

a^x \left( (a-1)^x - 3a \right) - \left( (a-1)^x - 3a \right) \leqslant 0 \Longleftrightarrow \\

\qquad \left( (a-1)^x - 3a \right) \left( a^x - 1 \right) \leqslant 0.

\end{array} Последнее неравенство эквивалентно совокупности систем: \left[ {\begin{array}{l}

\left\{ {\begin{array}{l}

(a-1)^x-3a\leqslant 0, \\

a^x-1\geqslant 0, \\

\end{array}} \right.\\

\left\{ {\begin{array}{l}

(a-1)^x-3a\geqslant 0, \\

a^x-1\leqslant 0. \\

\end{array}} \right.

\end{array}} \right. Учтем, во-первых, что из свойств показательной функции следует, что a>1 , следовательно, функция a^x — возрастающая.

Рассмотрим первую систему. \left\{ {\begin{array}{l}

(a-1)^x\leqslant 3a , \\

a^x-1\geqslant 0, \\

\end{array}} \right. \Longleftrightarrow

\left[ {\begin{array}{l}

\left\{ {\begin{array}{l}

1<a<2, \\

x\geqslant \log_{(a-1)} {3a},\\

x\geqslant 0, \\

\end{array}} \right.\\

\left\{ {\begin{array}{l}

a>2, \\

x\leqslant \log_{(a-1)} {3a},\\

x\geqslant 0. \\

\end{array}} \right.

\end{array}} \right.

Если основание логарифма меньше единицы, то логарифмическая функция является убывающей, поэтому значениям аргумента 3a

\geqslant 1 соответствуют значения функции \log_{(a-2)} {2a}\leqslant 0 , следовательно, пересечение областей изменения x будет [0; +\infty) ; если основание больше единицы, то значения логарифмической функции неотрицательны, и область изменения x будет \left[0; \log_{(a-1)} {3a} \right] . Исходя из этого, получаем: \left[ {\begin{array}{l}

\left\{ {\begin{array}{l}

1<a<2, \\

x\geqslant 0, \\

\end{array}} \right.

\left\{ {\begin{array}{l}

a>2, \\

0 \leqslant x\leqslant \log_{(a-1)} {3a}.

\end{array}} \right.

\end{array}} \right.

Аналогично решаем вторую систему, рассматривая различные области изменения основания логарифма, и получаем в результате \left\{ \begin{array}{l}

(a-1)^x - 3a \geqslant 0, \\

\left( a^x - 1 \right) \leqslant 0, \\

\end{array} \right.\Longleftrightarrow

\left[ {\begin{array}{l}

\left\{ {\begin{array}{l}

1<a<2, \\

x \leqslant \log_{(a-1)} {3a}, \\

\end{array}} \right.\\

\left\{ {\begin{array}{l}

a>2, \\

x\in \emptyset.

\end{array}} \right.

\end{array}} \right. Осталось рассмотреть только a-1=1 . Подставляя a=2 в исходное неравенство, после несложных преобразований получаем, что x\geqslant 0 .

Объединяя полученные результаты, получаем, что при 1<a<2 либо x\leqslant \log_{(a-1)} {3a} , либо x\geqslant 0 ; при a=2 x\geqslant 0 ; при a>2 0 \leqslant x\leqslant \log_{(a-1)} {3a} .

Теперь можно ответить и на второй вопрос задачи. Промежуток конечной длины среди решений неравенства только один: \left[0; \log_{(a-1)} {3a} \right] . Его длина равна 2 , если \log_{(a-1)} {3a}=2\Longleftrightarrow (a-1)^2=3a \Longleftrightarrow a=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}. Из ограничения a>2 вытекает, что подходит только a=\frac{5+\sqrt{21}}{2} .

Ответ 1) если a\in (1;2) , то x\in \left( - \infty; \log_{(a-1)} {3a} \right] \cup [0;+\infty) ; если a=2 , то x\in [0;+\infty) ; если a\in (2;+\infty) , то x \in \left[ 0; \log_{(a-1)} {3a} \right] ;

2) \frac{5+\sqrt{21}}{2} .