С дополнительными условиями: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 2.3.

Условие

Найдите все значения параметра a , при которых уравнение (x^2-5+\ln(x-a))^2=(x^2-5)^2+\ln^2(x-a) имеет единственное решение на отрезке [0;3] .

Решение

Уравнение (x^2-5+\ln(x-a))^2=(x^2-5)^2+\ln^2(x-a) равносильно уравнению

(x^2-5)\ln(x-a)=0. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй имеет смысл. Уравнение x^2-5=0 имеет единственное решение \sqrt 5 на отрезке [0;3] . Выражение \ln(x-a) имеет смысл при x>a . Уравнение \ln(x-a)=0 имеет единственное решение x=a+1 на отрезке [0;3] при a\in [-1;2] . Отметим, что выражение x^2-5 имеет смысл при всех значениях x . Решения x=\sqrt 5 и x=a+1 уравнения (x^2-5)\ln(x-a)=0 совпадают при a=\sqrt 5-1 .

Таким образом, поскольку \sqrt 5-1<2<\sqrt 5 , при a\geq \sqrt 5 исходное уравнение не имеет решений на заданном отрезке, при a<\sqrt 5 имеет решение x=\sqrt 5 , при -1\leq a\leq 2 имеет решение x=a+1 , и при a=\sqrt 5-1 эти два решения совпадают. Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке [0; 3] при тех a<\sqrt 5 , которые не лежат на отрезке [-1; 2] , а также при a=\sqrt 5-1 .

Ответ (-\infty;-1)\cup \left(2;\sqrt 5 \right)\cup \left\{\sqrt 5-1 \right\} .

Задача 2.4.

Условие

Найдите все значения параметра a , при которых уравнение (x^2-7+\ln(x-a))^2=(x^2-7)^2+\ln^2(x-a) имеет единственное решение на отрезке [0;3] .

Решение

Уравнение (x^2-7+\ln(x-a))^2=(x^2-7)^2+\ln^2(x-a) равносильно уравнению

(x^2-7)\ln(x-a)=0. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй имеет смысл. Уравнение x^2-7=0 имеет единственное решение \sqrt 7 на отрезке [0;3] . Выражение \ln(x-a) имеет смысл при x>a . Уравнение \ln(x-a)=0 имеет единственное решение x=a+1 на отрезке [0;3] при a\in [-1;2] . Отметим, что выражение x^2-7 имеет смысл при всех значениях x . Решения x=\sqrt 7 и x=a+1 уравнения (x^2-7)\ln(x-a)=0 совпадают при a=\sqrt 7-1 .

Таким образом, поскольку \sqrt 7-1<2<\sqrt 7 , при a\geq \sqrt 7 исходное уравнение не имеет решений на заданном отрезке, при a<\sqrt 7 имеет решение x=\sqrt 7 , при -1\leq a\leq 2 имеет решение x=a+1 , и при a=\sqrt 7-1 эти два решения совпадают. Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке [0; 3] при тех a<\sqrt 7 , которые не лежат на отрезке [-1; 2] , а также при a=\sqrt 5-1 .

Ответ (-\infty;-1)\cup \left(2;\sqrt 7 \right)\cup \left\{\sqrt 7 -1\right\} .

Пример 2.5.

Условие

Найдите все положительные a , при каждом из которых множество решений неравенства 1\leq \frac{a+x^2+2\log_5(a^2-4a+5)}{30\sqrt{17x^4+5x^2}+a+1+\log^2_5(a^2-4a+5)} состоит из одной точки, найдите это решение.

Решение

По условию a>0 , поэтому знаменатель принимает только положительные значения. Тогда a+x^2+2\log_5(a^2-4a+5)\geq 30\sqrt{17x^4+5x^2}+a+1+\log^2_5(a^2-4a+5)\Longleftrightarrow \log^2_5((a^2-4a+5)-2\log_5(a^2-4a+5)+1+30\sqrt{17x^4+5x^2}-x^2\leq 0\Longleftrightarrow (\log_5((a-2)^2+1)-1)^2+ \left(30\sqrt{17x^4+5x^2}-x^2\right)\leq 0, так как a^2-4a+5=(a-2)^2+1 .

Нетрудно заметить, что в левой части последнего неравенства оба слагаемых неотрицательны, причем первое слагаемое равно нулю при \log_5((a-2)^2+1)=1 , а второе слагаемое равно нулю только при x=0 . Отсюда получаем, что x=0 при a=4 ( a=0 не подходит, так как по условию нас интересуют только положительные значения параметра).

Ответ a=4, ~~x=0 .

Задача 2.6.

Условие

Найдите все положительные a , при каждом из которых множество решений неравенства 1\leq \frac{2a+x^2-4\log_{\frac{1}{3}}(4a^2-4a+9)}{5\sqrt{18x^4+7x^2}+2a+4+\log^2_{\frac{1}{3}}(4a^2-4a+9)} состоит из одной точки, найдите это решение.

Решение

По условию a>0 , поэтому знаменатель принимает только положительные значения. Тогда неравенств можно записать следующим образом: 5\sqrt{18x^4+7x^2}+2a+4+\log^2_{\frac{1}{3}}(4a^2-4a+9)\leq 2a+x^2-4\log_{\frac{1}{3}}(4a^2-4a+9)\Longleftrightarrow \left(5\sqrt{18x^4+7x^2}-x^2\right)+\left(\log^2_{\frac{1}{3}}(4a^2-4a+9)+2\right)^2\leq 0.

Нетрудно заметить, что в левой части последнего неравенства оба слагаемых неотрицательны, причем первое слагаемое равно нулю только при x=0 , а второе слагаемое равно нулю при \log_{\frac{1}{3}}(4a^2-4a+9)=-2\Longleftrightarrow 4a^2-4a_9=9. Отсюда получаем, что x=0 при a=1 ( a=0 не подходит, так как по условию нас интересуют только положительные значения параметра).

Ответ x=0 при a=1 .