Решение в зависимости от параметра и исследование полученных решений: Часть 1
Математика, 11 класс
Уравнения и неравенства с параметрами: решение в зависимости от параметра и исследование полученных решений Уравнения и неравенства, решающиеся на основе определения логарифмической и показательной фу...
Видео
Конспект
Уравнения и неравенства с параметрами: решение в зависимости от параметра и исследование полученных решений
Уравнения и неравенства, решающиеся на основе определения логарифмической и показательной функций
Сначала рассмотрим простые уравнения и неравенства с параметром.
Пример 1.1.
Условие
При каждом значении параметра a решите уравнение |a-1|^{x+1}=3a.
Решение
Основание степени положительно при всех a \ne 1 , а при a=1 левая часть уравнения не определена. Далее, для того, чтобы уравнение имело решения, его правая часть должна быть положительной, поэтому a>0 . При a = 2 уравнение решений не имеет, так как левая часть равна 1 для всех x , а правая часть при этом равна 6 . После логарифмирования по основанию |a - 1| \ne 1 получаем при 0<a<1 x+1=\log_{1-a} {3a}. Если же a>1 , a \ne 2 то x+1=\log_{a-1} {3a}.
Ответ если a\in (-\infty;0] \cup \{1\} \cup \{2\} , то решений нет; если a\in (0;1) , то x=\log_{1-a} {3a}-1 ; если a\in(1; 2) \cup (2; +\infty) , то x=\log_{a-1} {3a}-1 .
Задача 1.2.
Условие
При каждом значении параметра a решите уравнение \left| a^2-5a+6 \right|^{x}=2a.
Решение
Основание степени положительно при всех a \ne 2, \quad a\ne 3 , а при a=2, \quad a\ne 3 левая часть уравнения не определена. Для того, чтобы уравнение имело решения, его правая часть должна быть положительной, поэтому a>0 . При a^2-5a+6=\pm 1\Longleftrightarrow a=\frac{5\pm\sqrt 5}{2} уравнение решений не имеет, так как левая часть равна 1 для всех x , а правая часть при этом равна не равна 1. После логарифмирования по основанию 0 < | a^2-5a+6|\ne 1 получаем, что x=\log_{| a^2-5a+6|} {2a}.
Ответ если a \in (-\infty;0)\cup\{2\}\cup\{3\} \cup \left\{ \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} \right\} , то решений нет; если a\in \left(0; \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \right) \cup \left(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; 2 \right)\cup \left( 3; \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \right) \cup \left( \frac{5 + \sqrt{5}}{2}; + \infty \right) , то x=\log_{a^2-5a+6} {2a} ; если a\in (2;3) , то x=\log_{-(a^2-5a+6)} {2a} .
Пример 1.3.
Условие
Для всех значений a решите неравенство 2^{\sqrt{x-1}}>3^{a+1}.
Решение
Логарифмируем неравенство по основанию 2 (знак неравенства не меняется): 2^{\sqrt{x-1}}>3^{a+1}\Longleftrightarrow \sqrt{x-1}>(a+1)\log_2 3 Сразу отметим, что число \log_ 2 3>0 . Тогда решение x\geqslant 1 будет существовать для любого a<-1 , так как правая часть неравенства отрицательна, а левая неотрицательна. При a=-1 решением будет x>1 . При a>-1 можно возводить обе части неравенства в квадрат и после преобразований получить решение x> 1+(a+1)^2\log^2_2 3 .
Ответ если a\in (-\infty; -1) , то x\in [1;+\infty) ; если a\in [-1;+\infty) , то x\in \left( 1 + (a+1)^2 \log^2_2 3; + \infty \right) .
Задача 1.4.
Условие
Для всех значений m решите неравенство 2^{\sqrt{2+x}}>\left(\frac{1}{3}\right)^{2-m}.
Решение
Отметим, что 2+x\ge 0 . Логарифмируем неравенство по основанию 2 (знак неравенства не меняется): 2^{\sqrt{2+x}}>\left(\frac{1}{3}\right)^{2-m}\Longleftrightarrow \sqrt{2+x}>(m-2)\log_2 3.
Так как \log_ 2 3>0 то решение x\geqslant -2 будет существовать для любого m<2 , так как правая часть неравенства отрицательна, а левая неотрицательна. При m=2 решением будет x>2 . При a>2 можно возводить обе части неравенства в квадрат и после преобразований получить решение x> (m-2)^2\log^2_2 3-2 .
Ответ если m\in (-\infty; 2) , то x\in [-2;+\infty) ; если m\in [2;+\infty) , то x\in \left( - 2 + (m-2)^2 \log^2_2 3;+\infty \right) .
Следующую задачу удобно решать методом эквивалентных неравенств.
Пример 1.5.
Условие
При каждом значении a решите неравенство \log_{a-2} \left( a^2 - 6 \right) \cdot\log_{\frac{2x}{a}} \left(\frac{a}{3}\right)<0.
Решение
В этой задаче очень много условий. Найдем сначала ОДЗ. \left\{ {\begin{array}{l}
a-2>0, \\
a-2\ne 1,\\
a^2-6>0,\\
\frac{2x}{a}>0,\\
\frac{2x}{a}\ne 1,\\
\frac{a}{3}>0, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
a>\sqrt{6},\\
a\ne 3,\\
x>0,\\
x\ne \frac{a}{2}, .
\end{array}} \right. Перейдем к эквивалентному неравенству: \log_{a-2} \left( a^2 - 6 \right) \cdot\log_{\frac{2x}{a}} \left(\frac{a}{3}\right)<0\Longleftrightarrow (a-2-1)(a^2-6-1)\left(\frac{2x}{a}-1 \right)\left(\frac{a}{3}-1\right)<0\Longleftrightarrow (a-3)(a^2-7)(2x-a)(a-3)<0\Longleftrightarrow(a-3)^2(a-\sqrt 7)(a+\sqrt 7)\left(x-\frac{a}{2}\right)<0. Сначала рассмотрим a=3 . Подстановкой в исходное неравенство убеждаемся, что при таком a решений нет. Теперь предполагаем, что a\ne 3 . Тогда C учетом ОДЗ решаем это неравенство, рассматривая поочередно \sqrt{6} < a < \sqrt{7} , при этом x>\frac{a}{2} и a>\sqrt{7} , при этом 9<x<\frac{a}{2} .
Ответ если a=\sqrt{7} , то решений нет; если a \in \left( \sqrt{6}; \sqrt{7} \right) , то x\in \left(\frac{a}{2}; +\infty\right) ; если a \in \left( \sqrt{7}; 3 \right) \cup (3;+\infty) , то x \in \left(0;\frac{a}{2}\right) .
Задача 1.6.
Условие
Для каждого допустимого значения a решите неравенство \log_{2ax} \left(\frac{a}{4}\right) \cdot \log_{a^2-10} (a-3)<0.
Решение
Найдем сначала ОДЗ. \left\{ {\begin{array}{l}
ax>0, \\
2ax\ne 1,\\
a>0,\\
|a|>\sqrt{10},\\
a\ne \pm \sqrt{11},\\
a>3, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ {\begin{array}{l}
a>\sqrt{10},\\
x>0,\\
x\ne \frac{1}{2a}, \\
a\ne \sqrt{11} . \\
\end{array}} \right. Теперь, вычитая из каждого множителя 0 = \log_{2ax} 1 и 0 = \log_{a^2 - 10} 1 соответственно, перейдем к эквивалентному неравенству: \log_{2ax} \left(\frac{a}{4}\right) \cdot \log_{a^2-10} (a-3)<0\Longleftrightarrow (2ax-1)\left(\frac{a}{4}-1\right)\left(a^2-10-1 \right)(a-3-1)<0\Longleftrightarrow \left(x-\frac{1}{2a}\right) (a-4)^2 \left( a^2 - 11 \right)<0. Сначала рассмотрим a=4 . Подстановкой в исходное неравенство убеждаемся, что при таком a решений нет. Теперь предполагаем, что a\ne 4 . Тогда с учетом ОДЗ получаем: \left\{ {\begin{array}{l}
a>\sqrt{10},\\
a\ne \sqrt{11},\\
a\ne 4, \\
\left(x-\frac{1}{2a}\right) \left( a - \sqrt{11} \right)<0,\\
x > 0.
\end{array}} \right. Решаем это неравенство, рассматривая поочередно \sqrt{10} < a < \sqrt{11} и a>\sqrt{11} , и получаем ответ.
Ответ если a=4 , то решений нет; если a\in \left( \sqrt{10}; \sqrt{11} \right) , то x\in \left(\frac{1}{2a}; +\infty\right) ; если a \in \left( \sqrt{11}; 4 \right)\cup (4;+\infty) , то x \in \left(0;\frac{1}{2a}\right) .