Решение в зависимости от параметра и исследование полученных решений: Часть 2

Видео

Конспект

Показательные и логарифмические уравнения с параметром, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства часто удается решить, сводя к квадратным. При этом можно применять все методы из раздела <<Рациональные уравнения и неравенства с параметром>> (9 класс).

Пример 1.7.

Условие

При каждом значении b решите уравнение 49^x-b^2(b+1)7^x+b^5=0.

Решение

Введем новую переменную t=7^x>0 и решим квадратное уравнение относительно переменной t : t^2-b^2(b+1)t+b^5=0\Longleftrightarrow \left( t - b^3 \right) \left( t - b^2 \right) = 0. Отсюда, так как t>0 , при положительных значениях параметра b уравнение имеет два решения; при b=0 решений нет; при b<0 решение только одно, t=b^2>0 . Возвращаясь к переменной x , находим решение исходного уравнения.

Ответ если b<0 , то x=2\log_7 |b| ; если b=0 , то решений нет; если b>0 , то x=2\log_7 b , x=3\log_7 b .

Задача 1.8.

Условие

При каждом значении a решите уравнение 9^x+9a(1-a)3^{x-2}-a^3=0.

Решение

Введем новую переменную t=3^x>0 и решим квадратное уравнение относительно переменной t : t^2-a(1-a)t-a^3=0\Longleftrightarrow \left( t -a^2 \right) \left( t +a \right) = 0. Отсюда, так как t>0 , при a=0 решений нет. При a<0 уравнение имеет два решения: x=2\log_3(-a) и x=2\log_3(-a) . При a>0 решение только одно, x=2\log_3 a .

Ответ если a<0 , то x=2\log_3 (-a) , x=\log_3 (-a) ; если a=0 , то решений нет; если a>0 , то x=2\log_3 a .

Пример 1.9.

Условие

Для каждого значения a решите уравнение \log^2_2 \left(\frac{x-5a}{x}\right)+4\left(\log_{4}(x-5a)\right)\log_2 x-8\log^2_{4} x=0.

Решение

Начнем с ОДЗ: x>0 , x>5a . Преобразуем уравнение к более простому, воспользовавшись формулами: \log^2_2 \left(\frac{x-5a}{x}\right)+4\left(\log_{4}(x-5a)\right)\log_2 x-8\log^2_{4} x=0\Longleftrightarrow \left(\log_2 (x-5a)-\log_2 x\right)^2 +2\left(\log_{2}(x-5a)\right)\log_2 x -2\log^2 _2 x=0\Longleftrightarrow \left(\log_2 (x-5a)\right)^2-\left(\log_2 x\right)^2=0. Представляя разность квадратов функций как произведение их суммы и разности, получаем совокупность двух уравнений. При этом либо \log_2 (x-5a)-\log_2 x=0\Longleftrightarrow\frac{x-5a}{x}=1, что возможно только при a=0 , но для любого x>0 ;

либо \begin{array}{l}

\log_2 (x-5a)+\log_2 x=0\Longleftrightarrow (x-5a)x=1\Longleftrightarrow \\

\qquad x=\frac{5a\pm \sqrt{25a^2+4}}{2}.

\end{array} Проверяя выполнение условий ОДЗ, получаем ответ.

Ответ если a=0 , то x \in (0;+\infty) ; если a \ne 0 , то x=\frac{5a+\sqrt{25a^2+4}}{2} .

Задача 1.10.

Условие

Для каждого значения a решите уравнение 18\log^2_{27} x-6\left(\log_{27}(x-6a)\right)\log_3 x-\log^2_3\left(\frac{x-6a}{x}\right)=0.

Решение

Начнем с ОДЗ: x>0 , x>6a . Преобразуем уравнение к более простому: 18\log^2_{27} x-6\left(\log_{27}(x-6a)\right)\log_3 x-\log^2_3\left(\frac{x-6a}{x}\right)=0\Longleftrightarrow 2\log^2_{3} x-2\left(\log_{3}(x-6a)\right)\log_3 x-\log^2_3 {(x-6a)^2}+ +2\left(\log_{3}(x-6a)\right)\log_3 x-\log^2_3 x=0\Longleftrightarrow \left(\log_3 (x-6a)\right)^2-\left(\log_3 x\right)^2=0. Представляя разность квадратов функций как произведение их суммы и разности, получаем совокупность двух уравнений. При этом либо \log_3 (x-6a)-\log_3 x=0\Longleftrightarrow\frac{x-6a}{x}=1, что возможно только при a=0 , но для любого x>0 ;

либо \begin{array}{l}

\log_3 (x-6a)+\log_3 x=0\Longleftrightarrow (x-6a)x=1\Longleftrightarrow \\

\qquad x=3a\pm \sqrt{9a^2+1}.

\end{array} Проверяя выполнение условий ОДЗ x>6a , получаем ответ.

Ответ если a=0 , то x \in (0;+\infty) ; если a \ne 0 , то x=3a+\sqrt{9a^2+1} .