Решение в зависимости от параметра и исследование полученных решений: Часть 3
Математика, 11 класс
Пример 1.11. Условие Для любого допустимого значения a решите неравенство 2-\log_a (x-3)<\log_a x. Решение Допустимыми значениями a являются a \in (0;1)\cup(1;+\infty) . Для переменной x ОДЗ представл...
Видео
Конспект
Пример 1.11.
Условие
Для любого допустимого значения a решите неравенство 2-\log_a (x-3)<\log_a x.
Решение
Допустимыми значениями a являются a \in (0;1)\cup(1;+\infty) . Для переменной x ОДЗ представляет собой область x>3 . Преобразуем неравенство: \begin{array}{l}
2-\log_a (x-3)<\log_a x \Longleftrightarrow \log_a (x^2-3x)>2 \Longleftrightarrow \\
\qquad \log_a (x^2-3x)>\log_a {a^2}.
\end{array} Теперь рассмотрим отдельно два промежутка для основания a . Для 0<a<1 с учетом ОДЗ имеем \left\{ {\begin{array}{l}
x^2-3x-a^2<0, \\
x>3, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
3<x<\frac{3+\sqrt{9+4a^2}}{2}. Для a>1 \left\{ {\begin{array}{l}
x^2-3x-a^2>0, \\
x>3, \\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
x>\frac{3+\sqrt{9+4a^2}}{2}.
Ответ если a \in (0;1) , то x \in \left(3;\frac{3+\sqrt{9+4a^2}}{2}\right) ; если a \in (1;+\infty) , то x \in \left(\frac{3+\sqrt{9+4a^2}}{2}; +\infty \right) .
Задача 1.12.
Условие
Для любого допустимого значения a решите неравенство 2-\log_a x<\log_a (x-1).
Решение
Область допустимых значения для x : x>1 . Допустимыми значениями параметра a являются 0<a<1 и a>1 . Рассмотрим эти промежутки отдельно. \left\{ \begin{array}{l}
0<a<1, \\
x>1, \\
x^2-x<a^2
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
0<a<1, \\
x>1, \\
\frac{1-\sqrt{1+4a^2}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}. \\
\end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0<a<1, \\
1<x<\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}. \\
\end{array} \right. Аналогично для второго промежутка \left\{ \begin{array}{l}
a>1, \\
x>1, \\
x^2-x>a^2
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
a>1, \\
x>1, \\
left[ \begin{array}{l}
x>\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}, \\
x<\frac{1-\sqrt{1+4a^2}}{2}
\end{array}
\end{array} \right.\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
a>1, \\
x>\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}. \\
\end{array} \right.
Ответ если a \in (0;1) , то x\in \left(1;\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}\right) ; если a \in (1;+\infty) , то x \in \left( \frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}; +\infty \right) .