Исследование свойств, не требующее получения решений Часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Пример 3.12.

Условие

При каких значениях параметра a уравнение 2 \lg^2 x - |\lg x| + a = 0, имеет четыре различных решения?

Решение

Поскольку функция y = \lg x монотонна на всей области определения, то различным значениям \lg x соответствуют различные значения x . Следовательно, для того, чтобы исходное уравнение относительно x имело четыре различных решения, нужно, чтобы уравнение относительно \lg x имело четыре различных решения. Отсюда следует, что уравнение

Pokaz_11 f(t) = 2t^2 - t + a = 0, где t = |\lg x| , должно иметь относительно t два различных положительных решения. Для этого, в свою очередь, нужно, чтобы функция f(t) удовлетворяла следующим условиям (см. рис. 1) \left\{\begin{array}{l}

f(0) = a > 0,\\

t_0 = \frac{1}{4} > 0, \\

D = 1 - 8a > 0,

\end{array} \right.

\Longleftrightarrow

0 < a < \frac{1}{8}.

Ответ \left(0; \frac{1}{8} \right) .

Задача 3.13.

Условие

При каких значениях параметра a уравнение 2 \log_2^2 x - 3|\log_2 x| + 3a = 0, имеет ровно два различных решения?

Решение

Введем новую переменную t=\log_2 x , тогда уравнение примет вид: 2|t|^2-3|t|+3a=0. Квадратное уравнение относительно модуля аргумента имеет два решения в двух случаях: 1) если уравнение 2t^2-3t+3a=0 имеет дискриминант, равный нулю, а вершина находится в положительной области; 2) если корней у этого уравнения два, но разных знаков. Тогда при отражении положительной части графика относительно оси ординат мы получим ровно два решения в обоих случаях (рис.)

1) \qquad D=9-2\cdot3\cdot a=0\Longleftrightarrow a=\frac{3}{8}. 2) \qquad (2t^2-3t+3a)|_{t=0}<0\Longleftrightarrow a<0.

Ответ \left(- \infty; 0 \right) \cup \left\{ \frac{3}{8} \right\} .

Пример 3.14.

Условие

При каких значениях b уравнение 25^{-x}-(2b+5)5^{-x+\frac{1}{x}}+10b\cdot 5^{\frac{2}{x}}=0 имеет ровно два решения?

Решение

Разделим обе части уравнения на 5^{\frac{2}{x}}>0 , тогда получим квадратное уравнение относительно переменной y=5^{-x-\frac{1}{x}}>0 : \begin{array}{l}

25^{-x}-(2b+5)5^{-x+\frac{1}{x}}+10b\cdot 5^{\frac{2}{x}}=0\Longleftrightarrow \\ 5^{-2x-\frac{2}{x}}-(2b+5)5^{-x-\frac{1}{x}}+10b=0\Longleftarrow

y^2-(2b+5)y+10b=0 \\

\Longleftrightarrow (y-2b)(y-5)=0.

\end{array} Отметим, что в квадратном уравнении дискриминант представляет собой полный квадрат. Решение y_1=5 положительно всегда, а y_2=2b>0 при b>0 . Но два решения исходного уравнения - это два значения переменной x . Уравнение 5^{-x-\frac{1}{x}}=5 не имеет решений, поэтому уравнение 5^{-x-\frac{1}{x}}=2b\Longleftrightarrow x^2+\log_5(2b) \cdot x+1=0 должно иметь два решения. Это возможно, если дискриминант квадратного уравнения строго больше 0 : D=\log^2_5 (2b)-4>0\Longleftrightarrow |\log_5 (2b)|>2. Решаем это логарифмическое неравенство и с учетом условия b>0 получаем ответ.

Ответ \left(0;\frac{1}{50}\right)\cup \left(\frac{25}{2};+\infty\right) .

Задача 3.15.

Условие

При каких значениях a уравнение 4^{x}-(a+2)2^{x-\frac{1}{x}} + 2a\cdot 2^{-\frac{2}{x}}=0 имеет ровно два решения?

Решение

Разделим обе части уравнения на 2^{-\frac{2}{x}}>0 , тогда получим квадратное уравнение относительно переменной y=2^{x+\frac{1}{x}}>0 : \begin{array}{l}

4^{x}-(a+2)2^{x-\frac{1}{x}} + 2a\cdot 2^{-\frac{2}{x}}=0\Longleftrightarrow \\ 2^{2x+\frac{2}{x}}(a+2)-2^{x+\frac{1}{x}}+2a=0\Longleftarrow

y^2-(a+2)y+2a=0 \\

\Longleftrightarrow (y-a)(y-2)=0.

\end{array} Отметим, что в квадратном уравнении дискриминант представляет собой полный квадрат. Решение y_1=2 положительно всегда, а y_2=a>0 при a>0 . Но два решения исходного уравнения - это два значения переменной x . Уравнение 2^{x+\frac{1}{x}}=2 не имеет решений, поэтому уравнение 2^{x+\frac{1}{x}}=a\Longleftrightarrow x^2+\log_2 a \cdot x+1=0 должно иметь два решения. Это возможно, если дискриминант квадратного уравнения строго больше 0 : D=\log^2_2 (a)-4>0\Longleftrightarrow |\log_2 (a)|>2. Решаем это логарифмическое неравенство и с учетом условия a>0 получаем ответ.

Ответ \left(0;\frac{1}{4}\right)\cup \left(4;+\infty\right) .