Исследование свойств, не требующее получения решений Часть 1: Часть 1
Математика, 11 класс
Уравнения и неравенства с параметрами: исследование их свойств, не требующее получения решений Пример 3.1. Условие Найдите все значения a , при которых неравенство \log_a (x^2+4)>1 выполняется для все...
Видео
Конспект
Уравнения и неравенства с параметрами: исследование их свойств, не требующее получения решений
Пример 3.1.
Условие
Найдите все значения a , при которых неравенство \log_a (x^2+4)>1 выполняется для всех значений x .
Решение
Переходя к неравенству без логарифмов и учитывая ограничения на параметр, получаем равносильную ему совокупность неравенств: \log_a (x^2+4)>1\Longleftrightarrow
\left[ {\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{l}
0<a<1, \\
x^2 + 4<a, \\
\end{array}} \right.\\
\left\{ {\begin{array}{l}
a>1, \\
x^2 +4>a. \\
\end{array}} \right.
\end{array}} \right. Первая из систем совокупности не имеет решений, так как x^2+4\geqslant 4 , а a<1 . Во второй системе неравенство x^2>a-4 выполняется при всех x , если a-4<0 . Учитывая первое неравенство в этой системе, получаем ответ.
Ответ (1;4) .
Задача 3.2.
Условие
Найдите все значения b , при которых неравенство \log_b (x^2+5)>1 выполняется для всех значений x .
Решение
Переходя к неравенству без логарифмов и учитывая ограничения на параметр, получаем равносильную ему совокупность неравенств: \log_b (x^2+5)>1\Longleftrightarrow
\left[ {\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{l}
0<b<1, \\
x^2 + 5<b, \\
\end{array}} \right.\\
\left\{ {\begin{array}{l}
b>1, \\
x^2 +5>b. \\
\end{array}} \right.
\end{array}} \right. Первая из систем совокупности не имеет решений, так как x^2+5\geqslant 5 , а b<1 . Во второй системе неравенство x^2>b-5 выполняется при всех x , если b-5<0 . Учитывая первое неравенство в этой системе, получаем ответ.
Ответ (1;5) .
Пример 3.3.
Условие
Найдите все значения a , для каждого из которых уравнение \log_{1-x}(a-x+2)=2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [-1; 1) .
Решение
Если 1-x>0 , x\ne 0 , то уравнение можно записать как a-x+2=(1-x)^2\Longleftrightarrow x^2-x_1-a=0 . Возможны три случая, когда есть решения в промежутке [-1; 1) : либо один из корней внутри промежутка, а второй вне, либо оба корня внутри промежутка. В первом случае должно выполняться условие (см. раздел Рациональные уравнения и неравенства с параметрами) f(-1)f(1)<0, либо \left\{\begin{array}{l}
f(-1)\geq 0, \\
f(1)>0,\\
D\geq 0,\\
-1<x_0<1,\\
\end{array}\right. где f(x)=x^2-x-1-a , D - дискриминант квадратного уравнения f(x)=0 , x_0 - вершина параболы. Из первого условия получаем a\in (-1;1] , а из второй системы - a\in \left[-\frac{5}{4};-1\right) . Объединяя условия, получаем ответ.
Ответ \left[-\frac{5}{4};-1\right)\cup(-1;1].
Пример 3.4.
Условие
Найдите все положительные значения a , при каждом из которых уравнение 2a^x\cdot \log^2_3 |a-4|=a^{2x}+1 имеет хотя бы одно решение.
Решение
Пусть a^x=t , при этом a>0 , a \ne 4 , t>0 . Тогда имеем 2t \log^2_3 |a-4|=t^2+1\Longleftrightarrow t^2 -2 \log^2_3 |a-4| \cdot t+1=0. Это уравнение квадратное относительно t , у него должно существовать хотя бы одно решение в области t>0 .
Графиком функции f(t)=t^2 -2 \log^2_3 |a-4| \cdot t+1 является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины равна \log^2_3 |a-4|\geq 0 , поэтому если корни имеются, то хотя бы один из них больше нуля. Таким образом, требуется чтобы дискриминант квадратного уравнения был неотрицательным: \begin{gathered}
D=4 \left(\log^4_3 |a-4|-1 \right)\geq 0 \Longleftrightarrow \\
\left(\log^2_3 |a-4|-1 \right) \left(\log^2_3 |a-4| + 1 \right)\geq 0.
\end{gathered} Последнее соотношение равносильно \log^2_3 |a-4|-1\geq 0\Longleftrightarrow
\left[ {\begin{array}{l}
\log_3 |a-4|\geq 1, \\
\log_3 |a-4|\leq - 1.\\
\end{array}} \right. Решаем эти неравенства и получаем: \left[ {\begin{array}{l}
|a-4|\geq 3, \\
|a-4|\leq \frac{1}{3},\\
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left[ {\begin{array}{l}
a-4\geq 3, \\
a-4\leq -3,\\
-\frac{1}{3} \leq a-4\leq \frac{1}{3},
\end{array}} \right.\Longleftrightarrow
\left[ {\begin{array}{l}
a\geq 7, \\
a\leq 1,\\
\frac{11}{3} \leq a\leq \frac{13}{3}.
\end{array}} \right.
С учетом условий a>0,~a\ne 4 имеем ответ.
Ответ a \in (0;1]\cup \left[\frac{11}{3}; 4\right)\cup\left(4;\frac{13}{3}\right]\cup[7;+\infty) .